§2. Параллельное проецирование.

О пределение. Выберем в пространстве некоторую плоскость  и вектор p;\s\up8(( не параллельный . Пусть A; ¯ – произвольная точка в пространстве. Проведём через A; ¯ прямую, параллельную p;\s\up8((. Эта прямая пересечёт плоскость  в точке A_o, которая называется параллельной проекцией точки A; ¯ на плоскость  по направлению вектора p;\s\up8((.

Совокупность проекций всех точек фигуры (;¯ составляют фигуру _o, которая называется проекцией фигуры . Если вектор p;\s\up8((, то проекция называется ортогональной.

В дальнейшем будем предполагать, что все рассматриваемые прямые и отрезки не параллельны вектору p;\s\up8((.

С войства параллельного проецирования.

1. Проекция прямой есть прямая.

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

3 . Проекция отрезка A; ¯B; ¯ есть отрезок A_oB_o, где A_o – проекция точки A; ¯, B_o – проекция точки B; ¯.

4. При параллельном проецировании сохраняется простое отношение трёх точек. В частности, проекция середины отрезка A; ¯B; ¯ есть середина отрезка A_oB_o.

5 . Проекции параллельных отрезков, или от­резков, лежащих на одной прямой, параллельны или лежат на одной прямой.

6. Проекции параллель­ных отрезков, или от-резков, лежащих на одной прямой пропорциональны этим отрезкам:

= .

У пражнение. Доказательство всех этих утверждений не выходит за рамки школьного курса математики. Докажите их самостоятельно.

Пусть (; ¯ и  – две различные плоскости, а p;\s\up8(( – вектор не параллельный этим плоскостям. Каждой точке M; ¯(; ¯ поставим в соответствие её проекцию M_o на плоскость  параллельно вектору p;\s\up8((. Полученное отображение f:(; ¯ ^–  называется параллельным проецированием плоскости (; ¯ на плоскость  по направлению вектора p;\s\up8((.

§3. Аффинные отображения.

Определение. Пусть (; ¯ и  – две различные или совпадающие плоскости в пространстве. Взаимнооднозначное отображение f:(; ¯ ^–  называется аффинным отображением плоскости (; ¯ на плоскость , если любые три точки M1;¯, M2;¯, M3;¯ плоскости (; ¯, лежащие на одной прямой, переходят в три точки M₁, M₂, M₃ плоскости , лежащие на одной прямой.

Отображение f:(; ¯ ^–  называется подобием, если существует такое число k>0, что для любых точек A; ¯, B; ¯ плоскости (; ¯ и их образов A_o, B_o в плоскости  выполняется |A_oB_o|=k|A; ¯B; ¯ |.

Если плоскости (; ¯ и  совпадают, то аффинное отображение будет аффинным преобразованием, а подобие – преобразованием подобия. Можно доказать, что аффинное отображение сохраняет простое отношение трёх точек.

Лемма. Подобие является аффинным отображением.

Доказательство. Согласно неравенству треугольника |AB|+|BC||AC|, и при этом равенство возможно тогда и только тогда, когда B лежит на отрезке AC.

Пусть f:(; ¯ ^–  – подобие, а M1;¯, M2;¯, M3;¯ – три точки плоскости (; ¯, лежащие на одной прямой. Тогда, если M2;¯ лежит между M1;¯ и M3;¯, то выполняется |M1;¯M3;¯|=|M1;¯M2;¯|+|M2;¯M3;¯|. Пусть M₁, M₂, M₃ – образы этих точек. Тогда

|M₁M₂|+|M₂M₃|=k|M1;¯M2;¯|+k|M2;¯M3;¯|= =k(|M1;¯M2;¯|+|M2;¯M3;¯|)=k|M1;¯M3;¯|=|M₁M₃|.

А это означает, что M₂ лежит на отрезке M₁M₃.

Примеры аффинных отображений.

1. Параллельное проецирование одной плоскости на другую.

2 . Пусть f₁:(; ¯ ^–  – параллельное проецирование, а f₂:^–  – некоторое аффинное преобразование плоскости  (например, подобие). Тогда отображение f_2f₁:(; ¯ ^–  будет аффинным отображением.

Все свойства аффинных преобразований переносятся и на аффинные отображения. Доказательства следующих теорем получаются из доказательств теорем 1 и 2 заменой слова «преобразование» на слово «отображение».

Теорема 3. Пусть R; ¯ = {O; ¯, A1;¯, A2;¯} и R = {O, A₁, A₂} – произвольные аффинные реперы в плоскостях (; ¯ и  соответственно. Тогда существует одно и только одно аффинное отображение плоскости (; ¯ на плоскость , которое переводит репер R в репер R . При этом движении точка M с данными координатами в репере R переходит в точку M с такими же координатами в репере R .

Теорема 4. Любое аффинное преобразование f:(; ¯ ^–  переводит репер на плоскости (; ¯ в репер на плоскости .

Следствие. Аффинное отображение переводит параллельные прямые в параллельные прямые, луч – в луч, отрезок – в отрезок, полуплоскость – в полуплоскость, угол – в угол.