42.Геометрическая интерпритация двойного интеграла

Это объем сложного тела, ограниченного плоскостью.

И так, пусть в пространстве мы имеем некоторое тело (цилиндр), ограниченное сверху поверхностью f(x,y), по бокам - цилиндрической поверхностью (образующие которой параллельны оси OZ), а снизу плоскостью X0Y. Геометрический смысл двойного интеграла: при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).

Т еорема: Двойной интеграл равен объёму этого цилиндроида.

43.Использование функций нескольких переменных в экономических приложениях.

44.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Краевая задача и задача Коши.

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных. Эти переменные и производные различных порядков данной функции. Если независимая переменная одна- обыкновенные Дифференциальные уравнения, если более - дифференциальные уравнения частных производных.

Решение дифференциального уравнения- такая функция у=у(х) , которая при подстановке ее в это уравнение образует его в тождество.

Порядок Дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной.

Интеграл Дифференциального уравнения- решение полученное в неявной форме в виде G (x ; y)=0

Общее решение дифференциального уравнения У=Ф(х,с1,…..Еn)

Частное решение (при подстановке) Задачи:

1. Коши . Все дополнительные условия ставятся в одной точке

2. Краевая. Условия ставятся в разных точках ( как минимум два уравнения)

45.Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения.

Дифференциальные уравнения первого порядка – те которые могут быть представлены в виде (1) функция двух переменных. Решить это уравнение-значит найти семейство кривых, отвечающих заданному полю направлений.

Теорема: Пусть в дифференциальном уравнении (1) функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости ОХУ.

Тогда:

1. Для всякой точки (Хо Уо)множества Г найдется решение у=у(х) уравнения (1) удовлетворяющее условию у(Хо)=Уо

2. Если два решения У=У1 (х) и У=У2(х) совпадают хотя бы для одного значения Х=Хо ,т.е. если У1 (Хо)= У2(Хо) то эти решения совпадают для всех значений переменных для которых они определены.

Геометрический смысл: через каждую точку (Хо Уо) множества Г проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения.

46.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Диф-ые уравнения первого прядка называется уравнением с разделяющимся переменным, если оно может быть представлено в виде dy/dx=F(x) g (y) или

M(x) N(y) dx+ P(x) Q(y) dy=0 где F(x) M(x) P(x) – некоторая функция переменной х, g(y) N(y) Q(y) –y

Для решения такого уравнения следует преобразовать его к виду , в котором функция и функция переменной х окажутся в одной части равенства а у в другой затем проинтегрировать обе части.