- •1.Понятие действительной функции действительной переменной. Способы задания функции. График. Сложная и взаимообратные функции.
- •2.Основные свойства функций. Примеры функций, используемых в экономике.
- •3.Понятие числовой последовательности и основные св-ва сходящихся последовательностей.
- •11. Теорема Ферма, Роля, Лагранжа.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Роля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Теорема Коши.
- •12. Правило Лопиталя.
- •13. Точки Экстремума. Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •14. Выпуклость и точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условие перегиба функции.
- •15. Нахождение асимптот функции.
- •16. Уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке.
- •17.Первообразная функция и неопределнный интеграл.
- •18. Свойства неопределнного интеграла.
- •19. Табличные интегралы.
- •20. Интегрирование рациональных дробей.
- •21. Интегрирование иррациональных выражений.
- •22. Понятие определённого интеграла и свойства его.
- •23. Формула Ньютона-Лейбница .
- •25. Несобственные интегралы с бесконечными приделами.
- •27. Геометрические приложения определённого интеграла.
- •28. Понятие числового ряда. Основные св-во ряда.
- •29. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •32. Степенные ряды. Теорема Абеля. Св-ва степенных рядов. Радиус Сходимости степенного ряда.
- •33. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •34.Понятие ф-ции нескольких переменных, предел и непрерывность ф-ции.
- •35.Частные производные ф-ции 1го порядка и полный дифференциал.
- •40.Геометрический смысл двойного интеграла
1.Понятие действительной функции действительной переменной. Способы задания функции. График. Сложная и взаимообратные функции.
Если каждому значению х(х и Х) ставится в соответствие попределЁнное значение у(у и У), то говорят что на множестве х задана функция у=f(x). Где у-зависимая переменная. F-з-он соответствия. x-независ переменная(аргумент). Функция является правилом. Множество-совокупность объектов, относительно которых можно сказать, принадлежат ли они данной совокупности или нет.
Способы задания функции:
1.Аналитический(с помощью формулы).
2.Табличный-ф.задана таблицей, содержащей значение аргумента(х) и соответ. значение ф-ии f(x).
3.Графический-задана графиком.
4.Словесный.
5.С помощью комп.программы.
График функции- множество точек (x,y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты- соответствующие им значения функции y=f(x).
Сложная функция. Пусть ф. y=f(U)-ф-я от переменной U, определЁнной на множестве U c областью значения Y, а переменная U в свою очередь является ф-ей U=f(x) от переменной х, определЁнной на множстве Х с областью значений U.=> сложной функцией называют ф. вида y=f[ℓ(x)], заданную на множестве X. Пример: y=lgsinx. y’x=y’uU’x.
2.Основные свойства функций. Примеры функций, используемых в экономике.
Свойства функций:
1. Чётность-если f(-x)=f(x). (f(-x)=(-x)2=x2=f(x)).Симметрично относительно оси ординат. 2. НечЁтность-если f(-x)=-f(x). Симметрично относительно начала координат. Также функция может быть ф-ей общего вида.
Монотонность: ф-я y=f(x)-возрастающая(убывающая) на промежутке х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее(меньшее)значение ф-ии. Х2>X1, y=f(x).
Строго монотонные:f(X2)>f(X1)-возраст. f(X2)<f(X1)-убыв. Монотонные: f(X2)≥f(X1)-неубывающ. f(X2)≤f(X1)-невозраст.
Периодичность: ф-я y=f(x)-периодическая с периодом Т≠0, если для любых х из области определения ф-ии f(x+T)=f(x). Пример:sin(x)=sin(x+2П). sin2x=sin(x+T)=sin(2x+2T)=>2T=2П. Т=П..
Ограниченность: у=f(x)-ограниченная на промежутке x если существует такое положительное число М, что │f(x)│=М для любого х € Х. В противном случае-неогран.
Функции в экономике: 1.Ф-я полезности-зависимость полезности(результата), эффекта некоторого действия от рез-та этого действия.
2.Производственная ф.-завис. рез-та деят-ти от обусловивших еЁ факторов.
3.Ф-я выпуска-завис-ть объЁма про-ва от потребления ресурсов.
4.Ф-я издержек-завис-ть издержек от объЁма выпуска продукции.
5.Ф-я спроса, потребления, предложения-зав-ть объЁма спроса, потребления, предлож на отдельные товары, услуги, от различных факторов(доход и т.п. и т.д.). Пример-график пересечения спроса и предложения, где на пересечении-«равновесная цена».
3.Понятие числовой последовательности и основные св-ва сходящихся последовательностей.
Определение: Если по некоторому з-ну каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определЁнное число an , то говорят, что задана числовая последовательность {an}. Числовая послежовательность-это функция натурального аргумента аn=f(n). чатсный случай действительной переменной, когда аргументом является натуральное число. {an}=2, 1 1/2, 1 1/3,…1 1/100…an=1+1/n.
Св-во сходящихся последовательностей, имеющих предел:1.Если Xn=a, то limXn=a(n->∞)
2.Сходящаяся последовательность ограничена, однако не любая ограниченная последовательность сходится. limXn=(n->∞)a, limYn=b(n->∞).
3.lim(Xn±Yn)=a±b(n->∞).
4.lim(Xn*Yn)=ab(n->∞).
5.lim(Xn/Yn)=a/b(b+0).
6.Критерий коши:limXn=a(n->∞), limYn=a, {Zn}. Xn≤Zn≤Yn=>limZn=a(n->∞).
4.Предел числовой последовательности. Признаки существования предела последовательности. Два замечательных предела. Число А-предел числовой последовательности Х{an}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа E>0, найдЁтся такой номер N(зависимый от Е, N=N(E)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство |an-A|<E. Обозначается liman(n->∞)=A или an>A при an(n->∞). Последовательность, имеющая предел-сходится, не имеющая-расходится.
Признаки существования предела:1.если числовая послеlовательность {an} монотонна и ограничена, то она имеет предел. 2.Если в некоторой окрестности точки Х0(или достаточно близких значениях Х) функция f(x) заключена между двумя функциями g(x) и ℓ(х) имеется одинаковый предел A при x->x0(или x->∞), то функция f(x) имеет тот же предел А. Пусть при x->x0 limy(x)=A, limℓ(x)=A(x->x0) это означает, что для любого E>0 существует такое «знак существования»∂(E) ∂>0, что для всех х≠x0 удовлетворяющее условию |x-x0|< ∂верны неравенства
Замечательный предел. Предел sinx/x при х->0. LIMsinx/x=1. Док-во:
При х->0: cos x->1=>lim sinx/x=1(x->0) по второму признаку. Lim(1+1/n)n=e(n->∞)
(число эйлера 2.718).
Lim(1+1/x)x=e(n->∞). 1/x=h(x), при x->∞, h(x)-б.м. lim(1+h)1/h=e (1∞)
5.Предел функции в бесконечности и в точке. 1.В бесконечности. n-ненатуральное, а действительное число. Число А-предел функции y=f(x), при x->∞, если для любого сколь угодно малого положительного числа E>0, найдЁтся такое положительное число S>0 (зависящее от E; S=S(E)), что для всех х, таких, что |x|>S верно
|f(x)-A|<E Limf(x)=A(x->∞) или f(x)->A при x->∞.
2.В точке. Число А-предел функции y=f(x) при x->x0 если для любого, сколь угодно малого E>0 найдЁтся такое б>0, зависящее от Е, то для всех х≠х0 и одновременно х->х0<б будет выполняться |f(x)-A|< E
Любой E>0 принадлеж. б(Е)>0 любых х х≠0. |x-x0|<б(Е)=>|f(x)-A|<Elimf(x)=Ax->x0
F(x)->A
{x*|x-x0|<б}-б-окрестность.
6.Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Св-ва функций, непрерывных на отрезке. Определение:функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет трЁм условиям: 1.Определена в точке х0(сущ f(x0)) 2.Имеет конечный предел функции при х->x0. 3. Этот предел равен значению функции в точке x0 т.е. limf(x)=f(x0)(х-> x0). Функция f(x)=y-непрерывная на промежутке х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементы ф-ии непрерывны вьобласти их определения. Функ. y=f(x)-непрерывна в т. x0 , если она определена в этой точке, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Св-ва ф-ии непрерывных на отрезке. 1.Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке(првая теорема вейерштрасса).
2. если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т.м, наибольшего значения М(вторая теорема вейерштрасса)
3.Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и значения еЁ на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные значения, то внутри отрезка найдЁтся такая точка E принадлежащая (a,b), что f(E)=0(теорема хуйзнаеткого).
7.Производная функция и дифференциал. Производная функция-предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной, при стремлении последнего к нулю(если этот предел существует). y’=lim ∆y/∆(∆x>0)=lim f(x+∆x)-f(x)/∆x (∆x->0).
f’(x)f’xdy/dxdf/dx. Нахождение произхвожной-это и есть дифференцирование функции. Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то ф-я дифференцируема. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно ∆х, часть приращения функции равная произведению производной на приращение независимой переменной. dy=f’(x)∆x.
8.производные и дифференциалы высших порядков. Производной n-го порядка называется производная от производной от производной (n-1) порядка. f”(x)-второго порядка и т.д. f’”(x)…
Дифференциал nго порядка dny-дифференциал от дифференциала (n-1) порядка этой функции, т.е. dny=d(dn-1y).Пример:d2y=f’(x)dx2. dny=f(n)(x)dxn. Дифференциал nго порядка равено произведению произвожной второго порядка(n-го порядка) на n-ю степень дифференциала независимой переменной. f(n)(x)=dny/dxn. Пример f”(x)=d2y/dx2.
9.геометрический и физический смысл производной и дифференциала, приложения производной в экономических расчЁтах. Производная f’(x0) есть угловой коэфф. (тангенс наклона) касательной проведЁнной к кривой y=d(x) в точке x0 , т.е. R=f’(x0). y-f(x0)(x-x0).
Механический смысл: производная пути по времени S’(t0) есть скорость точки в момент t0: v(t0)=s’(t0). Дифференциал функции- приращение ординаты касательной, проведЁнной к графику функции y’=f(x) в данной точке, когда x получает приращение ∆х.
дифференциал функции пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за бесконечно малый промежуток времени dx, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости в момент x.
10.Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функции. Правила дифференцирования: 1.C’=0.2.X’=13.(U+V)’=U’+V’4.(UV)’=U’V+UV’ следствие: 1.(CU)’=CU’. 2.(UVW)’=U’VW+UV’W+UVW’.5.(U/V)’=U’V-UV’/V2.
Сложная функция. Теорема:Если y=f(U) и U=ℓ(x)-дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженный на производную самого промежуточного аргумента и по независимой переменной х, т.е. y’=f’(u)u’.
y=f[u(x)], y=f(u), где y=ℓ(x).
∆y/∆x=∆y/∆u=∆u/∆x
Обратная: для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. X’y=1/Yx.