Плотность тела и метод ее определения

Плотность - это отношение массы тела к объему, в котором эта масса распределена. Если тело однородно, то плотность определяется по формуле ,

где m - масса тела, V-объем тела. Для тела цилиндрической формы, плотность определяется по формуле

(1)

где D- диаметр цилиндра, h высота цилиндра.

В данной лабораторной работе предлагается произвести расчет погрешностей измерений по методу среднего арифметического. Однако существуют и другие способы расчета погрешностей  .

Среднее значение массы, высоты и диаметра цилиндра определяют по формулам

(2)

Находят абсолютные погрешности каждого из измерений:

(3)

а затем значения средних абсолютных погрешностей:

(4)

В том случае, если значение средней абсолютной погрешности измерения меньше погрешности прибора, то при дальнейших расчетах берется погрешность прибора. Например, для <h>, берется погрешность штангенциркуля, равная цене его деления.

В соответствии с изложенной выше методикой расчета погрешности косвенных измерений осуществим расчет погрешности определения плотности. Вначале логарифмируем почленно левую и правую части равенства (1), получим

Далее дифференцируя почленно левую и правую части считая ln4 постоянной величиной, имеем

Заменяем дифференциалы величин их приращениями, в качестве которых будем применять средние абсолютные погрешности

Считая, что погрешности отдельных прямых измерений взаимно усиливают друг друга, заменяют в правой части все знаки “ – “ на “ + “

(5)

Поскольку число  взято с определенной степенью точности, его также можно считать измеренным. А в качестве погрешности принять половину единицы последнего разряда, который определен в числе . Так, при  = 3,14  = 0, 005. В правой части выражения (5) все величины известны, поэтому можно рассчитывать относительную погрешность определения плотности

(6)

а затем и абсолютную погрешность

(7)

Расчет плотности следует проводить один раз, подставляя среднее значение массы <m>, диаметра <D> и высоты <h>.

Можно указать и более точный метод расчета погрешностей с помощью нахождения среднеквадратичных ошибок:

1. Логарифмируем выражение (1)

2. Дифференцируем последнее выражение

и преобразуем его к виду

(8)

где (9)

<m>, <D>, <h> - средние арифметические значения массы, диаметра и высоты

_m, _D, _h – выборочные средние квадратичные отклонения при измерении массы, диаметра и высоты образца

(10)

3. Из выражения (8) определяем _

(11)

4. Определяем величину , называемую доверительной случайной погрешностью измерения плотности по формуле

(12)

где коэффициент называемый коэффициентом Стьюдента, учитывает конечное число п наблюдений и надежность (доверительную вероятность р) результата. Аппарат математической статистики позволяет вычислять коэффициенты для любых р и п. Результаты таких вычислений приведены в таблицах. Например, задаваясь доверительной вероятностью р = 0,8, находим из таблицы, что для п = 4 коэффициент Стьюдента . Следовательно, в выбранном примере, истинное значение плотности твердого тела лежит в интервале

(13)

с вероятностью р=0,8

Эта вероятность означает, что из 4-х измерений 80% измеряемых величин будет лежать в промежутке от .

Выражения для вычисления погрешностей нескольких элементарных функций представлены в таблице.

Таблица

№ п/п	Вид функции	Относительная погрешность
1	2	3
1	У = а + в
2	У = а - в
3	У = а ∙ в ∙ с
4
5
1	2	3
6
7
8
9
10
11

Примечание. При вычислении погрешностей необходимо учесть, что а, в и φ представляют собой средние значения измеренных величин, а также то, что являются средними абсолютными ошибками этих величин.