Свойства

Очевидно, что длина (период) такого цикла не может превосходить числа   всех различных векторов длины   с элементами из  ; несложно доказать, что эта оценка достигается. Циклы этой максимально возможной длины обычно называют циклами де Брёйна (впрочем, иногда этот термин применяют и к циклам меньшей длины).

Билет 15

Деревья и их характеристические свойства.

Граф называется связным, если в нем для любых двух вершин имеется маршрут, соединяющий эти вершины. Заметим, что ввиду теоремы 1 можно в этом определении заменить слово "маршрут" словами "простой путь".

Для произвольного графа определим на множестве вершин отношение соединимости: вершина   соединима с вершиной  , если существует соединяющий их маршрут. Легко видеть, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности называются областями связности, а порождаемые ими подграфы - компонентами связности графа. В связном графе имеется только одна компонента связности - весь граф. Компоненты связности можно определить также как максимальные по включению связные подграфы данного графа.

У графа на рис. 2.2 имеется четыре области связности -  ,  ,  ,  .

Рис. 2.2. 

Деревом называется связный граф, не имеющий циклов. В графе без циклов, таким образом, каждая компонента связности является деревом. Такой граф называют лесом.

Из теоремы ( Если в графе степень каждой вершины не меньше 2, то в нем есть цикл.)  следует, что во всяком дереве, в котором не меньше двух вершин, имеется вершина степени 1. Такие вершины называют висячими вершинами, или листьями. В действительности легко доказать, что в каждом дереве не меньше двух листьев, а цепь   - пример дерева, в котором точно два листа.

В следующих двух теоремах устанавливаются некоторые свойства деревьев.

Теорема 1. Граф с   вершинами и   ребрами является деревом тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любым двум из следующих трех условий:

• (1) связен;

• (2) не имеет циклов;

• (3)  .

Доказательство.

Первые два условия вместе составляют определение дерева. Покажем, что выполнение любых двух из условий (1)-(3) влечет за собой выполнение третьего.

(1) и (2)   (3). Индукция по числу вершин. При   утверждение очевидно. При   в дереве имеется хотя бы один лист. Если из дерева удалить лист, то снова получится дерево, так как циклов не появится, а связность, очевидно, сохранится. В этом новом дереве   вершин и, по предположению индукции,   ребра. Следовательно, в исходном дереве было   ребро.

(2) и (3)   (1). Пусть в графе, не имеющем циклов,   ребро, а его компонентами связности являются  , причем   состоит из   вершин,  . Каждая компонента является деревом, поэтому, как доказано выше, число ребер в   равно  , а всего ребер в графе  . Значит,   и граф связен.

(1) и (3)   (2). Рассмотрим связный граф с   ребром. Если бы в нем был цикл, то, удалив любое цикловое ребро, мы получили бы связный граф с меньшим числом ребер. Можно продолжать такое удаление ребер до тех пор, пока не останется связный граф без циклов, то есть дерево. Но ребер в этом дереве было бы меньше, чем  , а это противоречит доказанному выше.(чтд)

Теорема 2. Если   - дерево, то

1. в   любая пара вершин соединена единственным путем;

2. при добавлении к   любого нового ребра образуется цикл;

3. при удалении из   любого ребра он превращается в несвязный граф.

Доказательство.

Существование пути между любыми двумя вершинами следует из связности дерева. Допустим, что в некотором дереве существуют два различных пути, соединяющих вершины   и  . Начальные отрезки этих путей совпадают (оба пути начинаются в одной и той же вершине   ). Пусть   - последняя вершина этого совпадающего начала, а после   в одном пути следует вершина  , а в другом - вершина  . Рассмотрим ребро  . Если его удалить из графа, то в оставшемся подграфе вершины   и   будут соединимыми - соединяющий их маршрут можно построить так: взять отрезок первого пути от   до   и к нему присоединить отрезок второго от   до  , взятый в обратном порядке. Но это означает, что ребро   не является перешейком. Однако из теоремы 4 предыдущей лекции следует, что в дереве каждое ребро является перешейком. Этим доказано утверждение 1). Утверждения 2) и 3) следуют из 1).

) следует, что в дереве каждое ребро является перешейком. Этим доказано утверждение 1). Утверждения 2) и 3) следуют из 1).(чтд)

Число попарно неизоморфных бинарных корневых деревьев и числа Каталана.

Опр Бинарными называют упорядоченные деревья, в которых каждый узел имеет не более двух, непосредственно следующих за ним узлов.

Найдем число различных бинарных деревьев с заданным числом вершин.

Пусть – число различных бинарных деревьев с n вершинами. Ясно, что (имеется ровно одно пустое бинарное дерево) и .

При всякое бинарное дерево с вершинами имеет вид где бинарное дерево с вершинами, а – бинарное дерево с вершиной. Число способов расположить одно бинарное дерево с вершинами слева от корня, а другое бинарное дерево с вершиной справа от корня равно . Следовательно, суммируя по всем , получаем:

В частности:

Последние равенства показывают, что последовательность чисел – это последовательность чисел Каталана.

Для полноты изложения напомним коротко, как могут быть получены явные выражения в факториалах для чисел .

Запишем производящую функцию:

Основываясь на (1), получаем:

Умножая обе части последнего равенства на и добавляя , приходим к соотношению

Таким образом, удовлетворяет квадратному уравнению

Решая его, находим:

Теперь разложим правую часть полученного равенства, воспользовавшись биномом Ньютона:

Сравнивая (1) и (2), приходим к заключению, что для всех n справедливо следующее равенство:

Билет 16

Теорема Кэли о числе различных деревьев с занумерованных вершинами.

Билет 17

Хроматическое число графа.

Двудольные графы.

Опр. Пусть множество вершин графа разбито на два подмножества . Граф называется

двудольным, если концы любого ребра лежат в разных подмножествах.

Условимся называть подмножество U верхним, а L - нижним. Будем рисовать двудольные графы в соответствии с этими названиями.

Критерий двудольности графа.

Теорема. Следующие утверждения для графа   равносильны:

(1)   - двудольный граф;

(2) в   нет циклов нечетной длины;

(3) в   нет простых циклов нечетной длины.

Доказательство.

Докажем, что из (1) следует (2). Пусть   - двудольный граф, в котором выбрано некоторое разбиение на доли,   - цикл длины   в графе  . При любом   вершины   и   смежны и, следовательно, принадлежат разным долям. Таким образом, одна доля состоит из всех вершин с нечетными индексами, т.е.  , другая - из всех вершин с четными индексами. Но вершины   и  тоже смежны и должны принадлежать разным долям. Следовательно,    - четное число.

Очевидно, что из (2) следует (3); остается доказать, что из (3) следует (1). Рассмотрим граф  , в котором нет простых циклов нечетной длины. Ясно, что граф, в котором каждая компонента связности - двудольный граф, сам двудольный. Поэтому можно считать, что граф   связен. Зафиксируем в нем некоторую вершину   и докажем, что для любых двух смежных между собой вершин   и   имеет место равенство  . Действительно, допустим сначала, что  . Пусть   - кратчайший путь из   в   - кратчайший путь из   в  . Эти пути начинаются в одной вершине:  , а оканчиваются в разных:  ,  . Поэтому найдется такое   , что   и   при всех  . Но тогда последовательность   является простым циклом длины  . Следовательно,  . Предположим, что  . Если   - кратчайший путь из   в  , то, очевидно, что   - кратчайший путь из   в  , следовательно,  . Итак, расстояния от двух смежных вершин до вершины   различаются ровно на единицу. Поэтому, если обозначить через   множество всех вершин графа, расстояние от которых до вершины   четно, а через   множество всех вершин с нечетными расстояниями до  , то для каждого ребра графа один из его концов принадлежит множеству  , другой - множеству  . Следовательно, граф   - двудольный.

Паросочетания и системы различных представителей.

Опр. Говорят, что задано паросочетание в двудольном графе, если для каждой верхней вершины зафиксировано по одному ребру (идущему в нижнее множество). Фактически это означает, что задано отображение Паросочетание называется совершенным, если концы выпущенных рёбер при этом не склеиваются.

Пусть дан граф G = (V,E), паросочетание M в G это множество попарно несмежных ребер, то есть ребер, не имеющих общих вершин.

Максимальное паросочетание — это такое паросочетание, которое не содержится ни в каком другом паросочетании этого графа. Наибольшее паросочетание — это такое паросочетание, которое содержит максимальное количество ребер.

Теорема Холла и её применения.

Билет 18

Потоки в сетях

Теорема Форда-Фалкерсона о максимальном потоке и минимальном разрезе.

Билет 19

Алгоритм нахождения максимального потока

Билет 20

Задача о минимальном вершинном покрытии для двудольных графов.

Теорема Кенига-Эгервари как следствие теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе.

Билет 21

Теорема Холла как следствие теоремы Кенига-Эгервари.

Теорема Кенига-Эгервари как следствие теоремы Холла.

Используются понятия трансверсалей, на основании чего доказывается теорема о модификации латинского прямоугольника. Вводятся определения  -матрицы, формулируются и доказываются теоремы Кенига-Эгервари и об общей трансверсали.

Теорема Пусть   латинский  -прямоугольник, причем,  ; тогда   можно расширить до латинского квадрата добавлением   новых строк.

Доказательство Докажем, что   можно расширить до латинского  -прямоугольника; повторяя эту процедуру, мы придем к латинскому квадрату.

Пусть   и  , где через   обозначено множество, состоящее из тех элементов множества  , которые не встречаются в  -м столбце матрицы  . Если мы сможем доказать, что   имеет трансверсаль, то тем самым мы докажем теорему, поскольку элементы этой трансверсали и образуют дополнительную строку. По теореме Холла достаточно доказать, что объединение любых   множеств   содержит по меньшей мере   различных элементов. А это очевидно, ибо любое такое объединение содержит   элементов (включая повторения), значит, по крайней мере, один из них повторялся бы более чем   раз, что невозможно.

Определение (0,1) матрицы или матрицы инциденций. Другой подход к изучению трансверсалей семейства  непустых подмножеств множества  состоит в исследовании  -матрицы  , в которой  , если  , и  в противном случае. (Любую такую матрицу, все элементы которой равны  или  , мы называем  -матрицей) этого семейства.

Определение словарного ранга. Назовем словарным рангом матрицы  наибольшее число единиц в  , никакие две из которых не лежат в одной и той же строке или в одном и том же столбце. Тогда  имеет трансверсаль в том и только в том случае, если словарный ранг матрицы  равен  . Более того, словарный ранг матрицы  равен в точности числу элементов частичной трансверсали, обладающей наибольшей возможной мощностью. В качестве второго приложения теоремы Холла рассмотрим известный результат о  -матрицах, называемой теоремой Кенига-Эгервари.

Теорема (Кенига-Эгервари, 1931) Словарный ранг  -матрицы  равен минимальному числу  строк и столбцов, которые в совокупности содержат все единицы из  .

Замечание В качестве иллюстрации этой теоремы рассмотрим матрицу

которая является матрицей семейства   Ясно, что и ее словарный ранг, и число  равны четырем.

Доказательство. Очевидно, что словарный ранг не может превосходить числа  . Чтобы доказать равенство, можно без потери общности предположить, что все единицы из  содержатся в  строках и  столбцах (где  ) и что строки и столбцы расположены в таком порядке, что в нижнем левом углу матрицы А находится  -подматрица, полностью состоящая из нулей.

Если  , то определим  как множество целых чисел  , таких, что  . Нетрудно проверить, что объединение любых  множеств  содержит по меньшей мере  целых чисел; поэтому семейство  имеет трансверсаль. Отсюда следует, что подматрица  из  содержит множество из  единиц, никакие две из которых не принадлежат одной и той же строке или одному и тому же столбцу. Аналогично, матрица  содержит множество из  единиц, обладающих тем же свойством. Таким образом, матрица  содержит множество из  единиц, никакие две из которых не принадлежат одной и той же строке или одному и тому же столбцу. Тем самым показано, что  не превосходит словарного ранга.

Билет 21

Варианты теоремы Менгера и её связь с теоремой Кенига-Эгервари и теоремой Форда-Фалкерсона.

Кодирование