Формальное определение

Мультимножество на множестве   — это упорядоченная пара  , где   — это функция, сопоставляющая каждому элементу множества   некотороенатуральное число, называемое кратностью этого элемента.

[Править]Примеры

Один из самых простых примеров — мультимножество простых множителей целого числа. Так, например, разложение числа 120 на простые множители имеет вид:

поэтому его мультимножество простых делителей —  .

Другой пример — мультимножество корней алгебраического уравнения. Например, уравнение   имеет корни  .

[Править]Число мультимножеств

Число различных мультимножеств мощности  , состоящих из элементов, выбранных из множества мощности  , может быть вычислено по следующей формуле, какбиномиальный коэффициент:

Число монотонных слов в данном алфавите.

Опр. Пусть A – алфавит (то есть конечное множество символов) со множеством букв упорядоченных так, что

Cлово длины – монотонное, если .

Утверждение. Число монотонных слов длины n в алфавите из букв равно

Док-во. Рассмотрим упорядоченное размещение объектов по ящикам и пусть ему соответствует монотонное слово следующим образом:

В соответствующем слове буква написана столько раз, сколько объектов в ящике , затем буква столько раз, сколько объектов в ящике . Каждому упорядоченному размещению n объектов соответствует единственное монотонное слово. Все монотонные слова таким образом могут быть получены. Монотонному слову, с другой стороны, соответствует ровно различных упорядоченных размещений. Поэтому число монотонных слов есть .(чтд)

Сочетания с повторениями.

Опр. Сочетание с повторениями из элементов по это произвольный набор . Количество различных таких наборов мы будем обозначать .

Утв.

Док-во: Придумаем хорошую интерпретацию для числа сочетаний с повторениями. Именно, рассмотрим шариков, расположенных в ряд. Возьмём «перегородку» (тогда образуется как раз ячеек) и воткнём их между шариками. Тогда количество шариков до первой перегородки - это в точности количество объектов первого типа, количество шариков между первой и второй перегородкой - это количество объектов второго типа, и так далее. Итак, мы установили биекцию между расположениями перегородок и сочетаниями. А теперь сопоставим каждой расстановке перегородок набор из нулей и единиц: пусть нулю соответствует перегородка, а единице - шарик. Тогда всякая расстановка перегородок кодируется строкой из нулей и единиц, в

которой ровно единиц. Осталось посчитать такие наборы. Это легко: достаточно расставить, например, единицы, а нули сами найдут своё место. Очевидно, что количество способов расставить единицы - это . Второе равенство сразу следует из симметричности биномиальных коэффициентов. (чтд)

Упорядоченные разбиения на натуральные слагаемые.

Разложение есть представление числа в виде упорядоченной суммы положительных целых.

Если разложение содержит в точности слагаемых, то говорят, что имеет частей и называется разложением.Проблема, тесно связанная с разложениями, есть задача подсчета числа решений уравнения

в неотрицательных целых числах. Решение такого уравнения называется слабым разложением частей, или слабым разложением числа . (Решение в положительных целых числах есть просто разложение .)

Положим,

то есть число разложений числа

Поэтому,

Билет 4

Число сюрьективных отображений из одного множества в другое.

Опр Отображение сюръективно, если для каждого элемента существует хотя бы один элемент , такой что .

Теорема. Число сюръективных отображений конечного множества , на конечное множество , то есть число функций , таких, что , равно

Док-во.( прямой ход) Каждое сюръективное отображение индуцирует разбиение на различных классов (в класс попадают все такие , что ).

Обратный ход, каждому разбиению на m классов соответствует сюръективных отображений . Действительно, выражение дает число способов разбить классов, а затем линейно упорядочить классы, скажем, Свяжем последовательность с сюръективной функцией , определенной формулой ' . Это устанавливает требуемое соответствие между количеством сюръективных отображений и числом разбиений.(чтд)

Числа Стилинга второго рода и рекуррентные формулы для них.

Опр Разбиение конечного множества , есть неупорядоченный набор подмножеств множества таких, что

для всех

Число разбиений множества, состоящего из n элементов, на классов – число Стирлинга второго рода.

Полагают, что

Лемма. Числа Cтирлинга второго рода удовлетворяют следующему основному рекуррентному соотношению:

Док-во. Рассмотрим таблицу разбиений объекта на классов.

1) Для некоторых разбиений ый объект есть единственный элемент в классе. Число таких разбиений есть

2) Для других разбиений ый объект не является единственным элементом класса ни для какого класса.

Следовательно, существует таких разбиений, так как каждому разбиению множества на классов соответствует в точности разбиений, образованных добавлением элемента поочередно к каждому классу. Таким образом, мы представили все разбиения элемента на классов в виде объединения непересекающихся подмножеств разбиений двух перечисленных типов. Поэтому (чтд)

Ещё формула :

Билет 5

Полиномиальные последовательности как базисы пространства полиномов.

Числа Стирлинга первого рода.

Опр Выражение является полиномом степени от скалярной переменной , следовательно его можно представить в виде следующего разложения по степеням :

По определению, коэффициенты ) такого разложения называются числами Стирлинга первого рода.

Формулы для связи между последовательностями и их обращение.

Биномиальное обращение и обращение Стирлинга.

Вывод формулы для чисел Стирлинга второго рода с помощью биномиального обращения.

Билет 6

Рекуррентная формула для чисел Стирлинга первого рода.

Опр Выражение является полиномом степени от скалярной переменной , следовательно его можно представить в виде следующего разложения по степеням :

По определению, коэффициенты ) такого разложения называются числами Стирлинга первого рода.

Лемма. Числа Стирлинга первого рода удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

Док-во. По определению

Представляя полиномы в левой и правой частях равенства в виде разложения по степеням , получим

Вычисляя и приравнивая коэффициенты при слева и справа, получаем первую формулу утверждения.(чтд)

Комбинаторная интерпретация чисел Стирлинга первого рода.

Числа известны под названием чисел Стирлинга первого рода без знака.

Лемма. Пусть – скалярная переменная. Фиксируем . Тогда имеет место

Док-во. Положим

Отсюда следует, что . Поэтому удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям и начальным условиям, что и а значит, они совпадают.(чтд)

Билет 7

Производящие функции.

Опр Пусть задана последовательность (неважно, конечная или бесконечная). Производящей функцией последовательности называется функция .

При этом все рассматриваемые ряды в случае бесконечной последовательности читаются формально сходящимися (если эти ряды сходятся в какой-то области к функции ),поскольку мы интересуемся не областью сходимости соответствующих рядов, а лишь соотношениями между коэффициентами таких рядов.

Задача Эйлера о замене монет.

Требуется найти число способов разменять заданную сумму n рублей монетами достоинством 1, 2 и 5 рублей.

Обозначим искомое число способов размена через . Для малых значений числа легко вычисляются непосредственно:

Составим производящую функцию последовательности :

Рассмотрим произведение

После раскрытия скобок и приведения подобных коэффициент при окажется равным . В самом деле, коэффициент при в (1) – это число способов представить в виде произведения степеней , , , равное числу решений в целых неотрицательных числах уравнения

.

Но это как раз и есть число «разменов» числа единицами, двойками и пятерками, т. е. число . Следовательно,

Суммируя геометрические прогрессии в скобках, получаем:

Используя производную, можно найти явное выражение для :

Впрочем, представление (2) позволяет получить рекуррентные соотношения для вычисления чисел . Вместе с

пусть

Тогда:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем уравнения:

Отсюда выводятся следующие рекуррентные соотношения:

(чтд)

Билет 8

Числа Каталани.

n-е число Каталана   можно определить одним из следующих способов:

Количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями.

Количество правильных скобочных последовательностей длины 2n, то есть таких последовательностей из n левых и n правых скобок, в которых количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом её префиксе открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.

Например, для n=3 существует 5 таких последовательностей:

((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())

то есть  .

Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами.

Количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n+1 листьями.