Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра.

Используем соотношение: . Подставив в него получим:

Т. е. выходной сигнал будет повторять форму корреляционную функцию смещенную во времени.

При t=t₀ B_s=Э и выражение переходит в .

Рассмотри параметры шума. Наиболее распространен белый шум – нормальный шум со спектральной плотностью W₀=const. При действии нормального шума на линейную цепь на выходе шум остается нормальным и . Следовательно корреляционная функция шума на выходе:

Следовательно, корреляционная функция на выходе по форме совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала и с входным сигналом.

При t=0 найдем дисперсию шума на выходе:

Найдем соотношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра (определим не по мощности а по напряжению: .

Это соотношение зависит только от энергии сигнала и спектральной плотности шума. Следовательно, при заданной энергии сигнала и спектральной плотности шума сигналу можно придавать любую форму, выгодную для решения конкретной задачи.

Например: для повышения скрытности работы РЛС выгодно удлинять сигнал при уменьшении его амплитуды. При удлинении сигнала ширина спектра должна быть неизменной. Для этого внутри сигнала необходимо вводить импульсную модуляцию (частотную).

Уточним смысл коэффициента А. Это размерный коэффициент, который удобно нормировать так, чтобы энергия входного и выходного сигналов согласованного фильтра была одинакова (для исключения усиления энергии фильтром).

Энергия входного сигнала: .

Энергия выходного сигнала: .

Из того, что Э=Э_вых получим: .

Отсюда: .

Следовательно, максимум выходного напряжения может быть больше, чем амплитуда сигнала на входе (даже при Э=Э_вых.

Примеры построения согласованных фильтров.

1.Согласованный фильтр для прямоугольного импульса.

Зададим сигнал как

Спектральная плотность такого сигнала: .

А его модуль: .

Используя соотношение найдем передаточную функцию согласованного фильтра: . Импульсная характеристика фильтра совпадает по форме с самим сигналом: .

Необходимо отметить, что сходящийся, т. е. фильтр физически реализуем.

Структурная схема имеет следующий вид. Множитель 1/jw реализуется интегрирующим звеном, а множитель реализуется устройством вычитания сигнала без задержки и с задержкой Т_С. Реализация такого устройства в идеале невозможно, но можно получить хорошее приближение при использовании реальной интегрирующей RC-цепи, если обеспечить постоянную времени этой цепи, достаточно большую по сравнению с Т_с.

Получающийся при этом на выходе вычитающего устройства импульс может быть сделан достаточно близким к прямоугольному.

Найдем напряжение на выходе фильтра. Используем соотношение получим:

.

Соотношение сигнал/шум на выходе:

Как видно, сигнал на выходе повторяет корреляционную функцию сигнала на входе, следовательно можно изобразить вид сигнала на выходе.

Для точного определения сигнала на выходе необходимо знать коэффициент А. Определим его компоненты:

Отсюда можно найти сигнал на выходе: .

Нормированный выходной сигнал: