5.3.3 Экстраполяционное прогнозирование на основе трендовых моделей

Получив удовлетворительную модель динамического ряда, можно осуществить прогнозирование поведения изучаемого временного ряда. Как правило, период упреждения не должен превышать ⅓ длины изучаемого ряда. В любом случае прогнозирование требует анализа условий существования изучаемого объекта.

Экстраполяция означает продление описанной тенденции в будущее.

Пример: 1) трендовая модель, описывающая динамику индексов потребительских цен

y = 99.7 + 1.8t

2) трендовая модель, описывающая динамику производства мяса в России

1983 – 1995гг

y = 9.7133 – 0.1593t – 0.0817t²

При благоприятных условиях на основе трендовой модели может быть получен так называемый точечный прогноз, который никогда не может сбыться. Поэтому точечный прогноз следует дополнить расчетом доверительных интервалов прогноза.

ŷ - ∆ ≤ ỹ ≤ ŷ + ∆ ,

где ỹ - точечный прогноз на основе трендовой модели, который рассчитан по уравнению тренда путем подставления в качестве фактора t порядкового номера временного периода, на который осуществляется прогноз.

∆ = t · S - предельная ошибка

Величина t в предельной ошибке берется исходя из заданного уровня вероятности в таблице Стьюдента.

Величина S – средняя квадратическая ошибка

Получив доверительные границы, можем указать вероятность, с которой гарантируется, что прогнозируемая величина будет находиться в указанных пределах.

5.4 Автокорреляция в рядах динамики (автокорреляция уровней временных рядов)

Автокорреляция в динамических рядах – зависимость между уровнями ряда или зависимость между исходным динамическим рядом и тем же рядом, но смещенным на определенный временной интервал, называемый лагом.

Лаг – временной интервал, разделяющий зависимые уровни.

Исходный Смещенные ряды

ряд

lag = 1 lag = 2

y_t

y₁ y_t-1

y₂ y₁ y_t-2

y₃ y₂ y1

… … …

y_n y_n-1 y_n-2

y_n y_n-1

y_n

Наличие автокорреляции в рядах динамики оценивается на основе коэффициентов автокорреляции, которые строятся и рассчитываются аналогично коэффициентам парной корреляции

, где

– уровни исходного ряда

– уровни смещенного ряда

i – временной лаг

– среднеквадратическое отклонение, рассчитанное на основе значений исходного ряда

- среднеквадратическое отклонение, рассчитанное на основе значений смещенного ряда

Величина лага определяет порядок коэффициента:

если lag = 1, то говорят о коэффициенте автокорреляции первого порядка

если lag = 2, то говорят о коэффициенте автокорреляции второго порядка

…

Если n > 20 и рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, то , .

Чем больше величина лага и чем меньше число уровней в изучаемом ряду, тем больше разница в значениях средних уровней и стандартных отклонений коррелируемых рядов.

Коэффициент автокорреляции, как и парный коэффициент, изменяется в пределах от -1 до 1.

Оценка существенности (статистической значимости коэффициента автокорреляции) осуществляется на основе t- статистики:

t_ф ≥ t_т - чтобы признать величину коэффициента автокорреляции статистически значимой.

Близость коэффициента автокорреляции к нулю будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции в уровнях рядов, к единице – о присутствии.

Наличие автокорреляции в рядах динамики (что характерно для экономических и социальных явлений) свидетельствует о присутствии тенденции в изучаемых рядах.

Если исследуемый временной ряд включает достаточное число временных рядов, то могут быть рассчитаны коэффициенты автокорреляции высоких порядков.

Последовательность коэффициентов автокорреляции r_a1, r_a2, r_a3, … , r_ai принято называть автокорреляционной функцией. На ее основе может быть изучена внутренняя структура динамического ряда, то есть можно получить ответы на вопросы: присутствует ли тенденция в изучаемом ряду, подвержены ли уровни ряда циклическим (сезонным) колебаниям; и указать период циклических колебаний, о котором свидетельствуют максимальные значения коэффициентов автокорреляции.

На основе функции автокорреляции строится график, который называется коррелограмма.

Пример: даны фактические значения коэффициентов автокорреляции по ряду «Динамика инвестиций в основной капитал Российской Федерации за период 1999 – 2002г». Динамика зафиксирована поквартально.

r_a1 = 0.47

r_a2 = 0.04

r_a3 = 0.03

r_a4 = 0.70

r_a5 = -0.08

r_a6 = -0.09

r_a7 = -0.03

r_a8 = 0.75

r_a9 = 0.38

r_a10 = -0.08

r_a11 = 0.18

r_a12 = 0.96

Построим коррелограмму:

Высокое значение автокорреляции первого порядка свидетельствует о присутствии тенденции в изучаемом ряду. Высокие значения 4, 8 и 12 порядков корреляции говорят о присутствии циклических колебаний в динамике инвестиций в основной капитал, период цикла – четыре квартала. Однако величине коэффициента автокорреляции 12 порядка вряд ли стоит доверять, так как он рассчитан на основе четырех коррелируемых пар показателей.

Если установлено наличие автокорреляции в уровнях ряда, то тенденция изучаемого временного ряда может быть описана на основе уравнения авторегрессии.

Уравнение тренда: y = a + bt

Уравнение авторегрессии: y = a + by_t-i (в качестве фактора выступает предшествующий уровень).

Выбор уравнения авторегрессии осуществляется по аналогии с уравнением тренда и оценка его качества – по тем же критериям.

Величина i определяется исходя из порядка коэффициента автокорреляции, имеющего максимальное значение (если величина коэффициента статистически значима).

Если в изучаемом временном ряду отсутствуют циклические колебания, то коррелограмма отразит затухающую автокорреляционную функцию, так как чем выше порядок автокорреляции, тем меньше будет его значение. Поэтому в динамических рядах, построенных по данным годичных интервалов, как правило, максимальное значение имеет коэффициент автокорреляции первого порядка. Строится уравнение, в котором фактором выступает ряд, смещенный на один лаг.

Если получено удовлетворительное уравнение авторегрессии, на его основе может быть осуществлен прогноз, но следует помнить, что чем больше период упреждения, тем менее точен прогноз (так как уже на втором шаге прогноза в качестве фактора в уравнение подставляется уже спрогнозированная величина).