- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Матрицы.
- •1.2.2. Свойства операций сложения (вычитания) матриц:
- •1.2.3. Умножение матрицы на число.
- •1.3. Умножение матриц.
- •1.3.3. Пример.
- •1.4.10.Свойства определителей.
- •1.5. Обратная матрица.
- •1.6.3. Элементарными преобразованиями над матрицей называются преобразования вида:
- •Тема 2. Системы линейных уравнений. (Лекции№3-4)
- •Основные определения.
- •2.3. Совместность систем алгебраических уравнений.
- •Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •2.5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •2.5.3. Последовательность элементарных преобразований расширенной матрицы системы.
- •Решение однородных систем линейных уравнений.
- •Решение систем однородных линейных уравнений:
- •Контрольное домашнее задание №3. Тема: Системы линейных уравнений.
- •Тема 3. Векторная алгебра. (Лекции№5-6)
- •3.1. Общие определения
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Действия над векторами в координатной форме
- •3.4. Базис на плоскости и в пространстве.
- •3.4.1. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •3.4.4. Выводы:
- •3.4.11. Расстояние между двумя точками в пространстве.
- •3.4.12. Деление отрезка в заданном отношении.
- •3.5. Скалярное произведение векторов.
- •3.5.2. Свойства скалярного произведения:
- •3.6. Векторное произведение двух векторов.
- •3.7. Смешанное произведение трех векторов.
- •3.8. Практическое занятие№4. «Нелинейные операции с векторами»
2.3. Совместность систем алгебраических уравнений.
2.3.1. Расширенной матрицей системы алгебраических уравнений называется матрица А+, полученная из матрицы системы А добавлением к ней столбца свободных членов.
. (9)
2.3.2. Теорема Кронекера–Капелли. Для того, чтобы система уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы А равнялся рангу расширенной матрицы А+, то есть r (A)=r (A+).
Следствия:
1) Если r(A) r(A+), то система несовместна и решений не имеет.
2) Если r(A) = r(A+)=n, то при ранге матрицы равном числу неизвестных решение единственное.
3) Если r(A) = r(A+), то при ранге меньшем числа переменных (rn) решений бесчисленное множество, при этом (n–r) переменным можно придать произвольные значения, а оставшиеся r переменных единственным образом выразить через них.
Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.
Линейная система уравнений в матричной форме. Возьмем систему линейных уравнений
. (10)
Введем следующие обозначения: А– матрица системы, Х –матрица-столбец неизвестных, С– матрица-столбец свободных членов.
, и .
Легко заметить, что при умножении матрицы А на Х получается матрица С, то есть мы получили в компактной форме матричное уравнение: АХ=С. (14)
Итак, линейная система (10) эквивалентна матричному уравнению (11). Найдем матрицу неизвестных. Для этого надо решить матричное уравнение(11). Если А – неособенная матрица, то умножив это уравнение слева и справа на А-1, получим А-1АХ=А-1С. Известно, что А-1АХ= ЕХ=Х= А-1С, учитывая это получаем формулу для решения системы линейных уравнений матричным способом:
Х= А-1С. (12)
Матрица неизвестных определяется как произведение обратной матрицы системы на матрицу свободных членов.
Замечание. Напомним, что обратная матрица существует только у тех матриц, у которых определитель не равен нулю.
2.4.2. Пример. Решить систему уравнений матричным способом: .
Решение.
1) Вычислять определитель сиcтемы нам не надо, так как в параграфе 2.2. при решении этой системы по формулам Крамера мы получили А=550.
2) Вычисляем алгебраические дополнения и обратную матрицу:
А11=6. А12=8, А13= –9, А21=7, А22= –9, А23=17, А31=23, А32= –6, А33= –7.
.
3) Находим решение системы уравнений:
. Ответ. (2, 1, –3).
2.4.3. Пример. Обувная фабрика производит 3 вида продукции: кроссовки, ботинки и туфли. Используется сырье 3 типов. Нормы расхода сырья на одну пару обуви и объем расхода за 1 день работы приведены в таблице.
Вид сырья |
Расход на 1 пару усл.ед.) Кроссовки |
Расход на 1 пару ботинки |
Расход на 1 пару(усл.ед) туфли |
Суммарный расход сырья за 1 день
|
S1 |
3 |
5 |
4 |
2000 |
S2 |
1 |
2 |
1 |
680 |
S3 |
2 |
3 |
2 |
1160 |
Найти объем выпуска продукции за 1 день.
Решение. Обозначим выпуск продукции каждого вида за 1 день , получим систему линейных алгебраических уравнений .
Для ее решения используем метод обратной матрицы. Вычислим
–1, значит обратная матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения: А11=1, А12=0, А13= –1, А21=2, А22= –2, А23=1, А31= –3, А32=1, А33= –1. Вычисляем обратную матрицу
и решаем матричное уравнение Х=А–1В, где В= . Находим .
Ответ. За 1 день выпускается 120 пар кроссовок, 200 пар ботинок и 160 пар туфель.