1.4.10.Свойства определителей.

1. 1. При транспонировании величина определителя не меняется: det (A^T)=det (A). Поэтому те утверждения, что справедливы для строк, справедливы и для столбцов.

2. Если поменять местами любые две строки (столбца), определитель изменит знак на противоположный.

3.Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен 0.

4. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) умножить на одно и то же число λ (λ≠0), то значение определителя изменится в λ раз.

5. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Пример: если третья строка имеет общий множитель число 2, то его можно вынести за знак определителя: .

6. Определитель, у которого строка (столбец) состоит из 0, равен 0.

Пример: . Сделать проверку самостоятельно. 7. Определитель, имеющий две пропорциональные строки (столбца), равен 0. Например, в определителе пропорциональны первый и третий столбец, поэтому определитель равен нулю: 8.Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме определителей: . 9. Если А и В – квадратные матрицы одинаковой размерности, то определитель их произведения равен произведению самих определителей: det (A · B)= det (В · А)= det A · det B.

Замечание. Из этого не следует, что A·B=В ·А. 10. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы какой-либо другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число, например, . 11. Определители диагональной и треугольной матриц равны произведению элементов, главной диагонали, то есть он вычисляется по более простой формуле: , . По этой причине при вычислениях определителей их удобно предварительно привести к диагональной или треугольной формам. 1.4.11. Пример. Вычислить определитель треугольной матрицы: . Решение. . Ответ: –8.

1.5. Обратная матрица.

1.5.1. Матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, то есть det (A)≠0. 1.5.2. Обратной матрицей к квадратной матрице А называется такая матрица A^-1 , что А ∙ А^-1= А^-1 ∙ А =Е. Обратная матрица вычисляется по формуле: . 1.5.3. Правило нахождения обратной матрицы.

*Вычислить det (A), если det (A)≠0, то обратная матрица существует. *Вычислить все алгебраические дополнения матрицы А. *Составить ассоциированную матрицу А из алгебраических дополнений. При этом алгебраические дополнения первой, второй и третьей строк в обратной матрице становятся первым, вторым и третьим столбцом соответственно. *Получить матрицу А^-1 делением каждого элемента ассоциированной матрицы на det (A). *Сделать проверку по формуле А ∙ А^-1=Е. 1.5.4. Пример. Найти обратную матрицу для матрицы: . Решение. 1) Вычисляем определитель этой матрицы. Используя свойства определителей, получим его диагональную форму. Последовательность действий такова: меняем строки местами, чтобы получить в верхнем правом углу единицу, из второй строки вычитаем первую, умноженную на 5, а из третьей вычитаем первую, умноженную на 3, далее третью строку делим на 2 и меняем третью строку со второй, потом из третьей вычитаем вторую, умноженную на 7. В результате мы получили диагональный определитель, не равный нулю А=2.

2) Вычисляем алгебраические дополнения: А₁₁=2. А₁₂=–6, А₁₃=–7, А₂₁=0, А₂₂=2, А₂₃=2, А₃₁=–4, А₃₂=8, А₃₃=11. 3). Записываем ассоциированную матрицу. В ассоциированной матрице в первом столбце ставятся алгебраические дополнения первой строки матрицы А, во втором столбце – алгебраические дополнения второй строки, в третьем столбце – алгебраические дополнения третьей строки. 4). Сделаем проверку по формуле А ∙ А^-1=Е.

.

1.5.5. Свойства обратной матрицы. * (А^–1)^–1=А; * (А^т)^-1=(А^-1)^т; * det(A^-1)det(A)=1; *если квадратные матрицы одного порядка А и В имеют обратные матрицы, то и АВ имеет обратную, при этом (АВ)^-1=В^-1А^-1.

1.6. Ранг матрицы. 1.6.1. Базисный минор. Рассмотрим числовую ненулевую матрицу, имеющую m строк и n столбцов, а k-натуральное число, не превосходящее m и n. Выделим в матрице А некоторые k строк и k столбцов. Эти элементы образуют квадратную матрицу k-ого порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-ого порядка, порожденным данной матрицей. Отличный от нуля минор r-ого порядка, такой что все миноры порядка r+1 и выше равны 0, называется базисным минором. Строки и столбцы, входящие в базисный минор, называются базисными.

1.6.2. Рангом матрицы называется порядок ее базисного минора, он обозначается rank(A) или r(A). При вычисления ранга матрицы возникает необходимость вычисления большого количества миноров. Для упрощения вычислительной работы используют элементарные преобразования матриц. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к трапецивидному виду, что позволяет сразу найти ранг матрицы.