7. Интеграл Римана (определение, существование, свойства; дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу). Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Опр. Пусть f(x) функция заданная на [a;b]; 1. Разбиением отрезка [a;b] называется система точек x₀, x₁,...,x_n: такая что a= x₀< x₁<x₂<…<x_n=b; 2. Разбиением с отмеченными точками называется разбиение и система точек такие что [x_i-1;x_i]; 3. Диаметром разбиения называется . Обозначения (P; ) - разбиение с отмеченными точками; - диаметр разбиения; P - разбиение.

Опр. Интегральной суммой функции f для данного разбиения (P; ) называется сумма и обозначается .

Опр. Число I называется определённым интегралом ф-ции f на [a;b], если >0 >0: с диаметром .

Опр. Интегралом функции f на [a;b] называют предел интегральных сумм при и обозначается = .

Функция называется интегрируемой по Риману, если у нее интеграл.

Необходимое условие интегрируемости: Если функция интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на нем.

Необходимое и достаточное условие интегрируемости (критерий Дарбу интегрируемости по Риману): Для того чтобы ф-ция f была интегрируема на [a;b] чтобы она была огр и удовлетв условию >0 >0: с , имеем: .

R_[a;b] – класс всех функций интегрируемых по Риману на [a;b].

Т(св-во линейности). 1. f ,g R_[a;b], f+g R_[a;b]; 2. f R_[a;b] , R, f R_[a;b] ; 3. f,g [a;b] , R f+ g)dx= + .

Т(св-во интегрируемости произведения)Пусть f ,g R_[a;b] f*g R_[a;b]

Т(св-во)Пусть a<c<b, если f R_[a;c] и f R_[c;b], тогда ф-ция f R_[a;b] и

Т(неотриц интегралов)Пусть f R_[a;b] и на [a,b], тогда

Т(св-во интегр-ти модуля)Если ф-ция f R_[a;b] и

Дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу.

Опр. Пусть f R_[a;b], тогда f R_[a;х] , [a;b] определён и ф-ция F: [a;b] эту функцию наз опред интеграл с переменным верхним пределом и обозн F(x)= .

Т (диф-ть интеграла с переменным верхним пределом): Пусть f R_[a;b], и f непрерывна в точке x₀ [a;b], тогда F(х) диф-ма в x₀, и .

Доказательство. Рассмотрим [a;b], F(x₀+ x)-F(x₀)= = x, где inf f(x₀) sup f(x₀), , рассмотрим >0 учитывая непрерывность f(x₀) <f(t)< , , если < , и , тоесть < .

Т(непр интеграла с пер верх пределом) Если f R_[a;b],то F(x) С_[a;b]

Опр. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на [a;b]. Если заданы ф-ции f(x) и F(x) (F(x) непрерывна на [a;b]) и , .

Т(О существовании первообразной): Пусть f С_[a;b], тогда для этой ф-ции на [a,b] первообразная F(x)= и причём

Д-во. Возьмём произвол. т. f непр в т.х. По пред. Теореме имеем , т.е. ф-ция F явл. первообр. для f.

Т(Формула Ньютона-Лейбница): Пусть f С_[a;b], и Ф(х) какая либо первообр ф-ции f , тогда справед формула Ньютона-Лейбница =

Доказательство. Т.к. f(x) – непрерывна всюду кроме конечного числа точек и ограничена, то она интегрируема. Пусть (x) – одна из обобщенных первообразных, обозначим через F(x)= , тогда (x)-F(x) c, тогда (a)-F(a)=c, (a)=c; =F(b), (b)-F(b)=c; = (b)-c= (b)- (a). Краткая запись = (x) . Формула Ньютона-Лейбница верна, когда a b, = - =-( (a)- (b))= (b)- (a).

8. Дифференцируемость функций нескольких переменных (частные производные и дифференциалы функций многих переменных; необходимые условия дифференцируемости функций многих переменных; достаточные условия дифференцируемости).

Опр: Приращением (полным) функции f в т-ке х₀ наз величину

Опр1: Ф-ия f наз диффер-ой в т-ке , если , где (*) , причем это рав-во должно выполн-я h : x⁽⁰⁾+hU(x⁽⁰⁾).

Опр2: Ф-ия f наз диффер-ой в т-ке , если , где =*

В 1 и 2 опр. O()=0 при =0.

Опр3: Ф-ия f наз диффер-ой в т-ке , если

, где _k(h)0 при h0, k=1,n, _k(0)=0.

Опр: Если  конечн , то его наз частной производной ф-ции f в т-ке x⁽⁰⁾ по переем-ой x₁ и обозн-ют

Аналог-но опред-я остальные производные по остальным переменным.

Т. (необх.усл. в т-ке) Если f диф-ма в т-ке x⁽⁰⁾, то она в т-ке x⁽⁰⁾ имеет все частные производные (конечные), причем .

Д-во: Т.к. ф-ия f диф-ема в т-ке x⁽⁰⁾ то

Где . Рассмотр вектор h=(h₁,0,0,…,0)Rⁿ. Тогда предыдущее выражение запишется в виде отсюда

. Т.о. док-ли , аналог-но док-ся другие рав-ва. 

В случае диф-ти ф-ции диф-л ф-ции запишется в виде .

Часто вместо h₁,…,h_n пишут x₁,…,x_n, или dx₁,…,dx_n.

Т (дост усл диф в т-ке) пусть ф-ция u=f(x₁,x₂,…,x_n)=f(x) имеет частные производные по всем аргументам в окрестности U(x⁽⁰⁾), причем эти частные производные непрерывны в т-ке x⁽⁰⁾, тогда ф-ия f будет диф-ема в т-ке x⁽⁰⁾.

Д-во: провед-м для ф-ции 2-х перем-ых. Рассмотр u=f(x,y) и т-ку (x₀,y₀), в кот-ой ф-ция u имеет произв-ые и они непрерыв в (x₀,y₀). Рассмотр приращение ф-ии

Выражение I₁ можно рассмат-ть как приращение ф-ции f(x₀,y₀+y) по переем-ой x. В силу теоремы Логранжа на отрезке [x₀,x₀+x] , 0<₁<1. Аналог-но выражение I₂ можно рассматр как приращ-ие ф-ции f(x₀,y₀) по переем-ой y на [y₀,y₀+y] по той же теореме 0<₂<1.

Т.к. производные непрерывны в т-ке (x₀,y₀), то

Тогда аналог-но

тогда приращение

, где

и по опр3 ф-ия f диф-ема в т-ке.