- •Математический анализ
- •Числовые ряды (сходимость числовых рядов; сходимость рядов с неотрицательными членами, признаки их сходимости; абсолютно сходящиеся ряды, их свойства; условно сходящиеся ряды).
- •Производная функции в точке. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.
- •Интеграл Римана (определение, существование, свойства; дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу). Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.
- •Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных.
- •Двойной интеграл Римана (сведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле; кратные интегралы).
- •Криволинейные и поверхностные интегралы (формула Грина; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути).
- •Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. Формула Стокса.
Числовые ряды (сходимость числовых рядов; сходимость рядов с неотрицательными членами, признаки их сходимости; абсолютно сходящиеся ряды, их свойства; условно сходящиеся ряды).
Пусть – числ. посл-ть, соединяя все члены это посл-ти «+»,получ. выражение
кот. наз числ. рядом с членами . наз n-ой частичной суммой.
Ряд наз сх-ся, если посл-ть частичных сумм {Sn} имеет конечный предел (число). Иначе ряд наз расх-ся.
Если ряд сх-ся, то S = наз суммой ряда и пишут
Т(критерий Коши сх-ти ряда): сходится > 0, N : n N и p N | | < .
Док-во: , ,пусть получ ,
Cледствие 1: сх-ся когда сх-ся его остаток .
Cледствие 2:Если ряд сх-ся, то необх. чтобы .
Числ. ряд наз полож,если все его члены не отрицат ( )
Т(критерий сходимости рядов с неотрицательными членами):Пусть аn 0. n N сходится {Sn} ограничена сверху.
Док-во:Sn = Sn-1 + an Sn-1, n
Необ-ть: Пусть ряд сходится limn Sn = S {Sn}- ограгичена cверху.
Дос-ть: Пусть {Sn}- неубывающая и ограгичена cверху по теореме Веерштрасса limn Sn = S, т.е. ряд сходится.
Т(Признак Коши)Пусть полож ряд и пусть , тогда: 1)если , то исходный ряд сх-ся 2)если , то исх ряд рассх 3)если , то как сх-ть так и расх-ть ряда
Т(Признак Даламбера)Пусть задан строгополож ряд и , тогда: 1)если , то ряд сх-ся 2)если , то ряд рассх 3)если , то как сх-ть так и расх-ть ряда
Опр.Ряд наз абс сх-ся, если сх-ся ряд .
Т. Если ряд сх-ся абсолютно, то он сх-ся.
Опр.Ряд который сх-ся, но не сх-ся абс наз условно сх-ся.
Т. Абс сх-ть ряда эквивалентна сх-ти двух полож рядов и (*)
Т.Если ряд сх-ся условно, то ряды (*) расс-ся, т.е. ряд составленный из полож членов bcc[ ряда будет рассх так же как и ряд составлен. Из отрицат членов и сх-ся ряда
Производная функции в точке. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.
Опр. Пусть f определена в некоторой окрестности точки x0 ,если , то он называется производной функции f в точке x0(при x x0) и обозначается . Обозначим ∆x=x-x0, тогда , обозначим , тогда .
Опр. Пусть f определена в некоторой окрестности U(x0), функция f называется дифференцируемой в точке x0, если имеет место представление , где -б.м. при ;
наз дифференциалом функции f в т. x0 и обозначается df(x0)= .
Опр. Разность наз приращением ф-ции в т. x0, и обозн . Разность наз приращением аргумента
Т. Если ф-ция f диф в т. x0 , то она непр в этой точке.
Опр. Пусть f диф-ма в некот окрестности т. x0 , т.е. и конечная , где . Если то её наз второй производной f (x0) и обозначается .Т.о.
Опр. Производная (n)-го порядка в точке x0 получается из производной в этой точке от производной (n-1) порядка. Обозначение f(0)=f. Опр. Функция f называется n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если у нее имеется до n-го порядка включительно и они непрерывны.
Теорема. (О вычислении производной высшего порядка)
Пусть U(x) и V(x) имеют в точке x0 производные до n-го порядка включительно, тогда их сумма и произведение имеют в точке x0 производную n-го порядка, при этом (u+v){n}=u{n}+v{n}, (uv){n}=(u+v){n}, где {n} означает, что u+v нужно формаль-но возвести в n-ю степень, а затем везде заменить степень на производную.
Вторым дифференцалом функции f в точке x0 называется дифференциал от ее первого дифференциала, предположим что (или dx) фиксируются. Обозначения d2y, d2f, d2f(x0), d2f=d(df)=d( dx)=d( )dx= dxdx= (dx)2. dnf(x0)=f(n)(x0)dxn. Свойства дифференциалов высших порядков dn(u+v)=d{n}u+d{n}v, dncu=cdnu, dn(uv)=(u+v){n}(dx)n.