![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Спецглавы математики
- •Лекция 1.............................................................................................................4
- •Аннотация
- •Лекция 1 План лекции
- •Функции комплексного переменного.
- •1.Область на комплексной плоскости.
- •Лекция 2 План лекции
- •2. Понятие и функции комплексного переменного.
- •3. Дифференцируемость и аналитичность.
- •Лекция 3 План лекции
- •Элементарные функции комплексного переменного.
- •3. Логарифмическая функция.
- •Пусть , а , тогда ,
- •4.Тригонометрические функции.
- •5. Гиперболические функции.
- •6. Обратные тригонометрические функции.
- •Контурным интегралом функции комплексного переменного называется , если существует, не зависит от способа деления контура с точками и от выбора точек на дуге .
- •Лекция 7 План лекции
- •Представление аналитических функций рядами.
- •Ряд Тейлора.
- •Лекция 9 План лекции
- •Лемма жордана.
- •Интеграл фурье. Преобразование фурье.
- •Лекция 9 План лекции
- •Лемма жордана.
- •Интеграл фурье. Преобразование фурье.
- •Лекция 10 План лекции
- •Некоторые специальные функции.
- •1. Единичная ступенчатая функция.
- •2. Дельта функция.
- •Лекция 11 План лекции
- •Обобщенное преобразование фурье. Преобразование лапласа.
- •Свойства преобразований лапласа.
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Применение преобразования лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •Обратное преобразование лапласа рациональной алгебраической дроби.
- •Изображение импульса произвольной формы.
- •Изображение периодических функций.
- •Лекция 15
- •Решетчатые функции.
- •Решетчатые функции.
- •Разностные уравнения.
- •Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 16
- •Дискретное преобразование лапласа.
- •Лекция 17
- •Связь между обычным преобразованием лапласа и d и z- преобразованиями. Преобразование .
- •Свойства z – преобразования.
Лекция 9 План лекции
Лемма Жордана.
2, 3 и 4-ая формулировки леммы Жордана.
Применение леммы Жордана для вычисления несобственных интегралов.
Лемма жордана.
Лемма
Жордана
(первая формулировка): Если на некоторой
последовательности дуг
,
(
при
,
а фиксировано) функция
равномерно относительно аргумента z,
то для любого
.
Рис. 1
Положим
,
тогда дуги
примут вид:
,
,
,
,
,
Функциональный
множитель
.
Другие изменения, которые вызваны
заменой
учтем, переходом от функции g(z)
к функции F(p).
Лемма
Жордана (вторая
формулировка):
Если на некоторой последовательности
дуг
,
(
,
а фиксировано) функция
равномерно относительно аргумента р,
то для любого
.
Р
ис.
2
Заменим во второй
формулировке леммы Жордана р на –р. В
этом случае контур
,
.
В функциональном многочлене
знак минус введем в параметр
,
т. е.
.
Лемма Жордана (третья формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента р, то для любого .
Рис. 3
Заменим в первой
формулировке z на –z. В
функциональном множителе
знак минус введем в параметр
,
т. е.
.
Контур
принимает вид
,
.
Лемма
Жордана
(четвертая формулировка): Если на
некоторой последовательности дуг
,
(
,
а фиксировано) функция
равномерно относительно аргумента z,
то для любого
.
Рис. 4
Пример.
Требуется
найти функцию f(z),
если преобразование Фурье функции
,
.
В
соответствии с преобразованием Фурье:
.
Для вычисления данного интеграла можно
использовать теорию вычетов и лемму
Жордана.
Рассмотрим
функцию
,
положив z=w+iy.
Пусть t>0. Рассмотрим замкнутый контур
Р
ис.
5
Вычислим интеграл
(*)
Перейдем
в (*) к пределу при
,
тогда
(по
первой формулировке леммы Жордана).
В
результате получим, что
.
2. Пусть t<0. Рассмотрим замкнутый контур .
Рис. 6
Вычислим интеграл по контуру с:
(**)
Перейдем в (**) к пределу при , тогда ( по четвертой формулировке леммы Жордана).
В
результате получим, что
.
Р
ис.
7
Интеграл фурье. Преобразование фурье.
Теорема. Если f(t) кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция и удовлетворяет условиям абсолютной интегрируемости, т. е.
,
то функция f(t)
представляется интегралом Фурье:
(1)
На практике обычно используют комплексную форму интеграла Фурье:
(2)
Покажем,
что ряд (1) и (2) эквивалентны
Обозначим
Ясно,
что
- четная функция
,
а функция
-
нечетная функция
.
Поэтому
в
силу нечетности функции.
Окончательно получим, что
Представим
интеграл (2) в виде
.
Обозначим
(3)
тогда
(4)
Равенство
(4) прямое преобразование Фурье. Оно
позволяет вещественной функции f(t)
поставить в соответствие функцию F(iw).
Обычно прямое преобразование Фурье
записывают в виде
.
Равенство (4) задает обратное преобразование
Фурье. Оно позволяет по комплексной
функции F(iw)
восстановить вещественную функцию
f(t).
Преобразования Фурье относятся к интегральным преобразованиям. Переход от вещественной функции f(t) к комплексной функции F(iw) позволяет упростить некоторые математические операции, например, дифференцирование вещественной функции f(t) в комплексной области (для функции F(iw) это соответствует умножению на iw).
Символически прямое преобразование Фурье представляется в виде:
,
а обратное
.
Рассмотрим
физический смысл интеграла (4). Множитель
задает гармоническую функцию. По
определению интеграл представляет
собой операцию суммирования по частоте
w
. Таким образом, из равенства (4) следует,
что периодическую функцию можно
представить в виде бесконечной суммы
гармонических функций, при этом в отличии
от ряда Фурье частота w
в (4) изменяется
непрерывно от
до
.
По аналогии с рядом Фурье функцию F(iw)
называют комплексный спектр (спектральная
характеристика, спектральная плотность).