- •Спецглавы математики
- •Лекция 1.............................................................................................................4
- •Аннотация
- •Лекция 1 План лекции
- •Функции комплексного переменного.
- •1.Область на комплексной плоскости.
- •Лекция 2 План лекции
- •2. Понятие и функции комплексного переменного.
- •3. Дифференцируемость и аналитичность.
- •Лекция 3 План лекции
- •Элементарные функции комплексного переменного.
- •3. Логарифмическая функция.
- •Пусть , а , тогда ,
- •4.Тригонометрические функции.
- •5. Гиперболические функции.
- •6. Обратные тригонометрические функции.
- •Контурным интегралом функции комплексного переменного называется , если существует, не зависит от способа деления контура с точками и от выбора точек на дуге .
- •Лекция 7 План лекции
- •Представление аналитических функций рядами.
- •Ряд Тейлора.
- •Лекция 9 План лекции
- •Лемма жордана.
- •Интеграл фурье. Преобразование фурье.
- •Лекция 9 План лекции
- •Лемма жордана.
- •Интеграл фурье. Преобразование фурье.
- •Лекция 10 План лекции
- •Некоторые специальные функции.
- •1. Единичная ступенчатая функция.
- •2. Дельта функция.
- •Лекция 11 План лекции
- •Обобщенное преобразование фурье. Преобразование лапласа.
- •Свойства преобразований лапласа.
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Применение преобразования лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •Обратное преобразование лапласа рациональной алгебраической дроби.
- •Изображение импульса произвольной формы.
- •Изображение периодических функций.
- •Лекция 15
- •Решетчатые функции.
- •Решетчатые функции.
- •Разностные уравнения.
- •Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 16
- •Дискретное преобразование лапласа.
- •Лекция 17
- •Связь между обычным преобразованием лапласа и d и z- преобразованиями. Преобразование .
- •Свойства z – преобразования.
Свойства преобразований лапласа.
1.Линейность преобразований.
Теорема 1.
Если функция f1(t) и f2(t) являются оригиналами и имеют, соответственно, изображения F1(s) и F2(s), то преобразование Лапласа от соотношения
L[k1 f1(t) k2 f2(t)] = k1F1(s) k2 F2(s) ,
где k1, k2- некоторые константы.
Доказательство.
По определению преобразование Лапласа
L[k1 f1(t) k2 f2(t)] =
k1F1(s) k2 F2(s).
Замечание.
Из данной теоремы следует, что преобразование Лапласа линейной комбинации оригиналов равно той же линейной комбинации их изображений.
L[ ] = - const.
2.Изображение производной.
Теорема 2.
Если функции f(t) и f'(t) функция f(t) имеет изображение F[s], то преобразование Лапласа производной этой функции равно:
L[f(t)] = s F[s] – f(0+)
f(0+) =
Теорема утверждает, что дифференцирование в вещественной области в комплексной области соответствует операции умножения изображения на s.
Доказательство.
По определению функция F[s] это:
F[s] =
] =
Покажем, что
при с > α.
Последовательное применение теоремы 2 позволяет распространить ее на производную любого порядка.
] =
Продолжая процесс, можно установить, что для n-ой производной:
3.Изображение интеграла.
Теорема 3.
Если функция f(t)-оригинал и имеет изображение F[s], то интеграл
также является оригиналом, причем
L[ ] = F(s)/s +
L[ ] = F(s)/s + /s.
Теорема утверждает, что интегрирование в вещественной области в комплексной области соответствует делению изображения на s (с точностью до const).
Доказательство. (2-ой части, которая приводит к формуле задания изображения).
По определению
F(s) =
L[
Покажем, что
при .
Теорема доказана.
4.Изменение масштаба.
Теорема 4.
Если функция f(t) оригинал и имеет изображение F(s), и «a» - некоторая положительная константа или положительная переменная независящая от t и s, то преобразование Лапласа:
L =
График функции отличается от графика функции f(t) наличием масштаба по оси t.
Доказательство.
По определению
F(W) =
Положим, имеем
Введем , тогда
L = .
Пример.
В соответствии с теоремой 4.
.
5.Смещение в комплексной области.
Теорема 5.
Если функция f(t) оригинал и имеет изображение F(s), то
Доказательство.
По определению преобразование Лапласа
.
Пример 1.
Найти преобразование Лапласа.
по теореме 5
Пример 2.
Найти обратное преобразование Лапласа.
6. Теорема свертки.
Сверткой функции f1(t) и f2(t) называется функция
f(t) =
Операция свертки обладает коммутативностью, т. е.
=
Действительно,
=
Лекция 13
План лекции
Свертка функций. Теорема об изображении свертки функций.
Изображение запаздывающей функции.
Изображение -функции и ее производных.
Дифференцирование в комплексной области.
Теорема 6.
Если функции f1(t) и f2(t) являются оригиналами и имеют соответственно изображения F1(s) и F2(s), то
L[ ] = F1(s)∙ F2(s)
Теорема утверждает, что произведению изображений в вещественной области соответствует интеграл свертки.
Доказательство.
Обозначим F(s) = L[ ]
По определению
F(s) =
Верхний предел во внутреннем интеграле можно перенести из т. t в т. ∞, если подынтегральное выражение умножить на 1( ).
Рис. 1.
F(s) =
Изменим порядок интегрирования
F(s) =
Принимая во внимание вид функции 1(t-τ) как функции аргумента t, запишем
F(s) =
Для второго интеграла введем подстановку Отсюда следует, что
;
F(s) =
=
Рис. 2.
Замечание.
Может показаться на первый взгляд, что теорему свертки удобно использовать для вычисления обратного преобразования Лапласа. На самом деле это не так, интеграл свертки приводит к громоздким вычислениям.
7.Изображение запаздывающей функции.
Теорема 7.
Если функция f(t) является оригиналом и имеет изображение F(s), то преобразование Лапласа запаздывающей функции:
при условии
при t < τ . (*)
Доказательство.
По определению
F(s) =
Положим , тогда
F(s) =
Принимая во внимание соотношение при t < τ нижний предел можно перенести из т. τ в т.0. Получим
F(s) = отсюда следует, что
.
Замечание 1.
По условию теоремы функция f(t) является оригиналом, следовательно, может быть записана в виде: f(t)·1(t). Запаздывающий оригинал имеет вид:
, т. е. запаздывающий оригинал обязательно удовлетворяет условию (*).
Замечание 2.
При пользовании данной теоремой во избежание ошибок оригинал следует записывать в виде f(t)·1(t).
Пример 1.
Н
f(t)
t
4
По теореме 7 найдем функцию f(t)·1(t)
f(t-4)·1(t-4) = t2 1(t-4) . Очевидно
f(t)·1(t) = (t + 4)2 1(t)
по теореме запаздывания
L[ ] =
Пример 2.
Н
t
5
по теореме запаздывания
= (t – 5) 1(t – 5).
8.Предельный переход по второй независимой переменной.
Теорема 8.
Пусть а – переменная независящая от t и s. Если функция f(t,а) является оригиналом относительно переменной t и имеет изображение F(s,a), то при условии существования выписанных ниже пределов справедливо равенство:
Доказательство.
По определению
Перейдем к пределу
Используя эту теорему, найдем изображение δ - функции. Рассмотрим функцию f(t,a), изображенную на рисунке.
f(t,a)
1/a
t
a
Очевидно,
f(t,a) =
L[f(t,a)] =
L[f(t- τ)] = где
Рассмотрим предел
т.о.
В соответствии с теоремой 8:
L[δ(t)] =
Т. о. Получили L[δ(t)] = 1.
Для производной δ(t) справедливо соотношение
Это равенство формально может быть получено применением теоремы 2.
Для запаздывающей δ(t) справедливо соотношение
L[δ(t-τ)] =
L[ (в соответствии с теоремой 7).
9.Дифференцирование в комплексной области.
Теорема 9.
Если функция f(t) является оригиналом и имеет изображение F(s), то
L
Теорема утверждает, что дифференцирование изображений в вещественной области соответствует умножению оригинала на аргумент t.
Доказательство.
По определению
F(s) =
Продифференцируем равенство по s. Это возможно, т. к. F(s)- аналитическая функция в области Re s > .
F(s) =
Перейдем к дифференцированию под знаком интеграла, получим
F(s) = L
В соответствии с таблицей
По теореме 9
L[
L[
Аналогично
L[