Геометрический смысл т.Лагранжа:

заметим, что формула Лагранжа равносильна равенству f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a), первая часть которого численно равна

Учитывая геометрический смысл f’(c) выводим, что в условиях Т. Лагранжа на графике функции f найдется точка с координатами (c;f(с)), касательная в которой к графику параллельна хорде [AB]. Т.о. Формула Л. означает, что на кривой АВ существует М, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Применение теоремы Лагранжа:

1. Критерий постоянства функции:

пусть функция f задана на [а;b] и выполнены условия 1 и 2 T. Ролля.

Для того, чтобы функция была постоянной на [а;b], необходимо и достаточно, чтобы f(х)=0 для любого х из (а,b).

Док-во: “=>” Для каждого фиксированного х из полуинтервала (a;b] на сегменте [a;x], очевидно, выполнены условия 1-2 Т. Ролля. Следовательно, по Т.Лагранжа на интервале (а;х) найдется точка с_х такая, что f(x)-f(a)=f’(c_x)*(x-a). Отсюда, ввиду f’(c_x)=0, получаем равенство f(x)-f(a)=0, т.е. f(x)=f(a). поскольку аргумент х был произвольным, существование постоянной с установлено. Док-во обратной импликации очевидно.

2. Критерий нестрогой монотонности.

Пусть f задана на [а;b], выполняется 1 и 2 Т. Ролля. Для того, чтобы функция была нестрого возрастающей (убывающей) на [а;b] необходимо и достаточно, чтобы производная f(х)>0(f(х)<0).

3. Достаточное условие строгой монотонности: Пусть функция f удовлетворяет условиям 1 и 2 Т. Ролля. Тогда, если f’(x)>0 для всех х из (a;b), то функция f строго возрастает на [а;b] (убывает).

Док-во: Пусть x₁,x₂€[a;b] и x₁<x₂. Т.к. [x₁;x₂]с[a;b], то функция f непрерывна на [x₁;x₂] и дифференцируема на (x₁;x₂). Следовательно, по Т. Лагранжа найдется точка с из (x₁;x₂), для которой f(x₂)-f(x₁)=f’(c)*(x₂-x₁). Отсюда, в силу неравенств x₂-x₁>0 и f’(c)>0 получаем неравенство f(x₂)-f(x₁)>0, что равносильно f(x₂)>f(x₁). Формулировка признаков убывания, а также невозрастания и неубывания аналогичны.