29. Дифференцируемость функции и ее дифференциал.

Геометрический смысл дифференциала функции в точке.

Пусть функция f определена на некотором интервале (а;b), включающем в себя т.t, т.е. t -внутренняя точка D(f).

Вычислим f(х).

f(х)=f(t+Δх) от-ся от f(х) на приращенной функции Δу=f(x)-f(t)=f(t+Δх)-f(t), где Δх и Δу- цельные символы.

Опр.1. Производной функции f(х) в т. t наз. предел при х→0 отношения Δх/Δу, если он существует и конечен.

Функция при этом наз. дифференцированной в т.t.

Опр.2.Функция f наз. дифференцированной в т. t, если ее приращение Δу можно представить в виде: Δу=А Δх+α(Δх)* Δх (2), где А- постоянна.

α(Δх)→0 при Δх→0

Теорема 1. Функция f диффер-на в т.t в смысле формулы (2) тогда и только тогда, когда у нее в этой точке существует производная (1), причем А=f ^‘(t)

Док-во: 1.(2) =>(1)

Выполнено (2), т.е. существует А-соnst, α(Δх)→0 при Δх→0.

Рассмотрим Δх≠0:t+ Δх€(а;b)

Поделим (2) на Δх. Выразим А: А=Δх/Δу-α(Δх)= f(t)

Число (1)

выполнено (1) Δх/Δу-f ^‘(1)=α(Δх), где α(Δх)→0 при Δх→0

Умножим на Δх≠0, получим Δу-f ^‘(t)*Δх=α(Δх)*Δх

Перепишем Δу=f(t)*Δх+α(Δх)*Δх

Получим (2), где А= f ^‘(t).

По опр.2 функция f диф-ма в т. t.

Опр.З. Дифференциалом независимой переменной наз. произвольное приращение независимой переменной (аргумента) d(х)= Δх

Опр.4. Дифференциалом функции f(х) наз. произведение ее производной на дифференциал аргумента D у = df(x)=f ^‘(х)d(х). Дифференциал аргумента совпадает с приращением аргумента, а дифференциал функции в общем случае не совпадает с ее приращением.

Пример: y=x => y’=1 => dy=1*∆x=∆x

Геом.смысл дифференциала функции. Функция предполагается дифференцированной в т. х₀ d(x)=Δх=МС Δf(x)=BC f ^‘(x)=tg∟BMC

Но df(x)=f(x)∆х=MC*tg∟BMC=BC

Д ифференциал функции изображается BC≠AC, изображающий приращение функции, т.е. если ∆f(x) – приращение ординаты кривой y=f(x), то df(x) – это приращение ординаты касательной к кривой в точке A. Это и есть геометрический смысл дифференциала.

Т.к.dy=y’dx, то умножая функции таблицы производных на dx мы получим таблицы дифференциалов.

Т.2. Если функции f и g дифференцированы в точке x₀, то в этой точке дифференцированы функции f±g,f·g,f/g при g(x₀)≠0, c·f при c –const, причем выполняются равенства:

1.d(f±g)=df±dg;

2. d(f·g)=gdf+fdg;

3. d(f/g)=(gdf-fdg)/g²;

4. d(cf)=cdf, при c-const.

Док-во(3): f дифференцирована в точке х₀ => существует f’(x₀)

g дифференцирована в точке х₀ => существует g’(x₀), т.о.существует (f/g)’(x₀), g(x₀)≠0 (f/g)’=(f’g-fg’)/g²

Теперь xdx

(остальные аналогично).

30.Теорема Лагранжа и ее применения к исследованию функции.

Т. Ролля. Пусть функция f определена на отрезке [а;b] и удовлетворяет трем условиям:

1. функция непрерывна на этом отрезке;

2. функция дифференцирована в интервале (а,b);

3. функция на концах отрезка имеет одинаковые значения f(а)=f(b). Тогда существует т. с на отрезке [а,b] со св-вом f(с)=0.

Теорема Лагранжа. Если функция f задана на [а;b] и удовлетворяет усл. 1 и 2 теоремы Ролля. Тогда существует т. с на (а,b): f(b)-f(a)=f'(с)(b-a).

Док-во: Составим вспомогательную функцию  φ(x)=r*x+f(x), где r – постоянная. Эта функция непрерывна на [а;b] как разность непрерывных функций и дифференцируема на (а;b). Подберем коэффициент r так, чтобы выполнялось равенство φ(a)=φ(b), то есть r*a+f(a)=r*b+f(b). Это r=(f(a)-f(b))/(b-a). При таком r функция φ удовлетворяет условиям 1-3 теоремы Ролля. Отсюда по Т.Ролля существует с из (а;b):φ'(с)=0. Вычислим φ’(x): φ’(c)=(r*x+f(x))’|_x=c=r+f’(c). Т.о. r+f’(c)=0, а тогда , что равносильно f’(c)= -r доказываемой формуле.