- •Алгебраическая форма записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме записи.
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа на комплексной плоскости.
- •Модуль и аргумент комплексного числа.
- •Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Формула Муавра.
- •Извлечение корня из комплексного числа.
- •Понятие многочлена. Наибольший общий делитель.
- •Основная теорема. Следствие из основной теоремы.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Понятие квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •Закон инерции.
- •Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства.
- •Ортонормированный базис конечномерного евклидового пространства.
- •Неравенство Коши - Буняковского.
- •Комментарии
- •Понятие нормы
- •Норма в кольце гауссовых целых чисел
- •Норма в действительном квадратичной расширении кольца целых чисел
- •Линейный оператор. Действия над линейными операторами.
- •Ядро линейного оператора. Основные свойства.
- •Образ линейного оператора. Основные свойства.
- •Ранг линейного оператора. Основные свойства.
- •Матричная запись линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
- •Определение унитарного оператора. Критерий существования унитарного оператора в Евклидовом пространстве.
- •Определение нормального оператора. Связь унитарного и нормального оператора.
- •Кольцо. Изоморфизм колец
- •Первая теорема
- •Вторая теорема
- •Третья теорема
- •Поле. Изоморфизм полей.
- •Группа. Свойства групп.
- •Простейшие свойства
- •Изоморфизм групп.
- •Первая теорема
- •Вторая теорема
- •Третья теорема
- •Разложение группы по подгруппе.
- •Циклические группы
Ортонормированный базис конечномерного евклидового пространства.
Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.
Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве
Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.
Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:
то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.
Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:
можно найти так:
.
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:
Неравенство Коши - Буняковского.
Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.
Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны (коллинеарны).
Комментарии
В конечномерном случае можно заметить, что , где — площадь параллелограмма, натянутого на векторы и .
В общем случае:
Понятие нормы
Норма алгебраического числа — теоретико-числовая функция, норма, определённая в конечном алгебраическом расширении поля. Норма алгебраического числа равна произведению всех корней минимального многочлена данного числа. Норма отображает кольцо целых элементов расширения поля в кольцо целых элементов поля. Часто в качестве поля берется поле рациональных чисел , а значит в качестве кольца его целых элементов берется кольцо целых чисел .
Норма в кольце гауссовых целых чисел
Поле - расширение поля рациональных чисел, кольцо его целых элементов - это кольцо гауссовых целых чисел чисел вида . Норма определяется как . Для данной нормы - простое число в тогда и только тогда, когда - простой элемент кольца . Таким образом, в 2 и все простые числа вида разложимы в , а простые вида - неразложимы, поэтому .
Множество обратимых элементов кольца состоит из 4-х элементов: , норма только этих элементов равна 1.