Анізотропна дифракція брегга та її застосування

Так само як і ізотропна дифракція світла, анізотропна дифракція може розглядатися як процес розсіяння квантів світла – фотонів на фононах, що відбувається з виконанням законів збереження енергії (12) та імпульсу (13). Ці співвідношення встановлюють зв’язок між векторами падаючого та дифрагованого світла, а також вектором звуку, який виражається у формі векторних діаграм (рис. 6). На відміну від випадку ізотропної дифракції без зміни площини поляризації, де кути падіння та дифракції світла дорівнюють один одному і одночасно дорівнюють брегівському куту (див. рис. 3), при анізотропній дифракції із зміною площини поляризації в загальному випадку кути падіння та дифракції суттєво відрізняються (див. рис. 6). Ця особливість є дуже важливою для поліпшення характеристик акустооптичних дефлекторів. Якщо позначити через k_i та k_d хвильові вектори падаючого та дифрагованого світла, а через та кути падіння та дифракції, то з векторної діаграми на рисунку 6 знайдемо:

(15)

Звідси досить легко визначити кути падіння та дифракції, як функції акустичної частоти:

(16)

де f – частота акустичної хвилі,  – довжина хвилі світла у вакуумі, v – швидкість акустичної хвилі, та – показники заломлення для падаючого та дифрагованого світла відповідно. Коефіцієнти та є функціями напрямку світлової хвилі, тому в явному вигляді залежність кута дифракції від частоти вдається отримати лише для деяких окремих випадків. Так, наприклад, якщо звукова хвиля розповсюджується перпендикулярно оптичній вісі одноосного позитивного кристалу, а поляризація падаючої світлової хвилі лежить в одній площині з його оптичною віссю, то графічне зображення залежностей (16) буде мати вигляд, показаний на рисунку 9. Як можна побачити з рисунку 9, на частоті кут падіння світла слабко залежить від частоти акустичної хвилі.

Рис. 9. Залежність кута Брегга для падаючого та дифрагованого світлового променя від частоти звуку.

Рис. 10. Векторна діаграма анізотропної дифракції світла на звуковій хвилі, що розходиться.

Режим роботи дефлектора поблизу цієї частоти представляє значний інтерес, оскільки при відносно незначній зміні кута падіння , що забезпечується за рахунок розбіжності звукової хвилі, досягається значне кутове переміщення дифрагованого променя (рис. 9, 10).

Якщо частота обирається поблизу точки екстремуму функції , тобто , то інтегральна ефективність дифракції буде визначатись виразом:

, (17)

де , , , ,  – амплітуда акустичної хвилі, – кут падіння світла на акустичну хвилю. При цьому найбільш широка смуга частот

(18)

отримується при куті падіння

; . (19)

Робоча точка дефлектора визначається зрізом кристалу, що використовується в комірці і може варіюватися в широких межах.

Необхідно зазначити, що анізотропна дифракція має деякі особливості, притаманні тільки цьому виду акустооптичної взаємодії. Так на частоті звуку , як це випливає з другого виразу у (15), кут дифракції . Отже, дифрагований промінь розповсюджується паралельно фронту звукової хвилі.

Рис. 11. Векторна діаграма двухфононного процесу дифракції світла на плоскій звуковій хвилі в анізотропних кристалах.	Рис. 12. Векторна діаграма дифракції для неаксіального анізотропного дефлектора.

При цьому в деяких випадках можуть існувати умови, коли для дифрагованого променя буде виконуватись умова Брегга, при якій вторинна дифракція можлива як під кутом , так і під кутом . На частоті відбувається виродження умови Брегга, в наслідок якого світловий промінь дифрагує не тільки під кутом до падаючого променя, але і під кутом (рис. 11). При такій взаємодії фотон поглинає два фонона. Двухфононний процес призводить до зменшення інтенсивності світла в корисному промені, що особливо помітно при великих ефективностях дифракції. Це суттєво позначається на частотній характеристиці дефлектора, в центрі якої з’являється вузький провал. Цього можна уникнути обмежуючі потужність акустичної хвилі. Однак, існує більш простий спосіб – використання неаксіальних зрізів кристалу. Це дозволяє не тільки уникнути провалу на частотній характеристиці, але і спростити схему дефлектора. При цьому акустична хвиля поширюється під кутом до оптичної вісі кристалу (рис. 12). Підбираючи кут можна підвищити частоту і збільшити діапазон сканування .

Іншим чином особливості анізотропної акустооптичної дифракції проявляються при часовій модуляції інтенсивності світла за допомогою акустооптичних модуляторів. Однією з найважливіших характеристик акустооптичного модулятора є його частотна характеристика, зокрема смуга модуляції. Найбільшу швидкодію забезпечують акустооптичні модулятори, що працюють саме в режимі анізотропної дифракції. Крім того, при анізотропній дифракції за рахунок різної поляризації падаючого та дифрагованого світла відсутня проблема їх просторового розділення і, таким чином, є можливим досягнення 100% ефективності дифракції. Для акустооптичної модуляції, як правило, використовують брегівський режим дифракції. Модулятори світла, що працюють в режимі Рамана-Ната, не забезпечують широкої смуги частот і знаходять обмежене застосування. При цьому, говорячи про частотну характеристику не слід її плутати з частотною характеристикою дефлектора. Смуга модуляції акустооптичного модулятора, безумовно, в першу чергу визначається смугою перетворювача та умовами узгодження перетворювача з ВЧ генератором. Але є обмеження смуги модуляції, принципового характеру, які обумовлені особливостями акустооптичної взаємодії.

Якщо розглядати роботу акустооптичного модулятора в режимі імпульсної модуляції світла, то в ідеальному випадку акустичний сигнал буде являти собою радіоімпульс з нескінченно крутим фронтом (див. рис. 13,а). Неважко зрозуміти, що навіть в такому ідеальному випадку відгук модулятора буде являти собою імпульс зі скінченою тривалістю фронту (рис. 13,б), оскільки інтенсивність дифрагованого світла досягне стаціонарного значення лише через деякий проміжок часу, що необхідний для заповнення ультразвуком всієї області взаємодії. Виходячи з геометричних міркувань (рис. 14):

, (20)

Рис. 13. Перехідна характеристика модулятора:

а – збуджуючий радіоімпульс;

б – імпульсний відгук модулятора в дифрагованому світлі.

де , d – ширина світлового пучка, – так званий, параметр Гордона, який визначає співвідношення між кутами розбіжності світла та звука, – довжина хвилі звуку.

При смуга модуляції максимальна: . З ростом все більшу роль починає відігравати другий доданок в (20), що відображає об’ємний характер взаємодії. Час зростає, а смуга модуляції відповідно звужується.

Таким чином, для збільшення швидкодії модулятора необхідно гранично зменшувати розміри області взаємодії. На практиці пучок, що модулюється, доводиться фокусувати в комірку, причому найбільша смуга модуляції отримується, коли перетяжка пучка знаходиться в центрі області взаємодії. Мінімальна апертура пучка визначається умовою існування дифракції: . Враховуючи (18), отримаємо обмеження на смугу модуляції: , де – частота несучих коливань. Звідси випливає, що найбільш ефективний шлях збільшення швидкодії – це збільшення частоти несучих коливань.

Але визначення смуги пропускання акустооптичного модулятора не обмежується лише частотою несучих коливань. Щоб визначити, які ще фактори впливають на смугу пропускання, необхідно провести строгий розрахунок акустооптичного модулятора, який зводиться до рішення задачі про дифракцію світлового пучка на амплітудно модульованій акустичній хвилі. Якщо припустити, що модулюючий сигнал являє собою гармонійне коливання з частотою та має вигляд:

, (21)

де – глибина модуляції, , , , , а світловий пучок, що модулюється, є гаусовим:

, (22)

де – діаметр світлового пучка в перетяжці, тоді для кутового розподілу інтенсивності дифрагованого світла можна отримати вираз, в якому складова на частоті модуляції буде мати вигляд:

(23)

Рис. 14. Геометрія акустооптичної взаємодії в дифракційному модуляторі.

1 – падаючий світловий пучок,

2 – дифрагований світловий пучок,

3 – акустичний пучок

При фіксованих , , та залежність являє собою частотну характеристику модулятора. Вираз (21) дозволяє відмітити важливу особливість акустооптичного модулятора, що відрізняє його від модуляторів інших типів.

Це – неоднорідність модуляції по перерізу світлового пучка. Вигляд частотних характеристик суттєво залежить від кута і, таким чином, від місцезнаходження приймача модульованого випромінювання. Крім того, на смугу пропускання модулятора також суттєво впливає геометрія акустооптичної взаємодії. З геометричних міркувань (рис. 14) зрозуміло, що найбільшої швидкодії можна досягти при , оскільки при за рахунок похилого падіння світлового пучка розміри області взаємодії будуть збільшуватись, що спричинить звуження . При цьому у випадку ізотропної дифракції дуже важливим є узгодження кутів розбіжності світлового та акустичного пучків. При анізотропній дифракції з умова узгодження розбіжностей є достатньо слабкою. Таким чином, при однакових параметрах комірок найбільшу швидкодію акустооптичної модуляції забезпечує анізотропна дифракція з кутом Брегга близьким до нуля.

Необхідно зазначити, що представлені результати отримані у наближені слабкої взаємодії. При цьому при аналоговій модуляції світла в режимі брегівської дифракції оптимальним є положення робочої точки на лінійній ділянці залежності , що відповідає значенню . Розрахунок частотних характеристик при великій ефективності дифракції є дуже громіздким. Це обумовлено тим, що в наближенні сильної акустооптичної взаємодії не можна користуватися принципом суперпозиції – результат дифракції світлового пучка на окремій спектральній складовій пружної хвилі залежить від умов взаємодії з усіма іншими складовими. При цьому можуть спостерігатися ефекти розширення світлових імпульсів та спотворення їх фронтів.

Явище дифракції ШеФфера-Бергмана

Різні типи хвиль, які можуть розповсюджуватися у твердому тілі, мають різні швидкості поширення, що залежать від пружних сталих середовища. У найбільш простому випадку ізотропного середовища його пружні властивості характеризуються двома сталими; в анізотропних тілах (кристалах) число сталих визначається кристалографічною системою. Пружні властивості кубічного кристала визначаються трьома сталими, кристала тригональної або тетрагональної системи  шістьома, кристала моноклінної системи  тринадцятьма і кристала триклинної системи  двадцять однією сталою.

Шеффер і Бергман у 1934 р. розробили метод визначення пружних сталих прозорих речовин за допомогою дифракції світла на ультразвукових хвилях. Великою перевагою такого методу є використання одного й того ж зразка досліджуваного матеріалу для визначення усіх його пружних сталих, причому для анізотропних речовин отримані таким чином величини являють собою замкнену систему сталих, чого до цієї пори не можна було досягти ніяким іншим методом.

Суть запропонованого ними методу полягає у наступному. Уявимо собі кристалічний куб, в якому збуджені три ультразвукові хвилі у напрямках, перпендикулярних трьом його граням; таким чином утворюються стоячі ультразвукові хвилі, що перетинаються під прямим кутом. Однак для цього не треба використовувати три п’єзоперетворювачі, прикріплених до кожної грані; досить прикріпити перетворювач до однієї з цих граней прозорого куба, або встановити куб на горизонтально розташованій п’єзопластинці, яка збуджується на власній частоті пружних коливань куба. Таким чином, внаслідок поперечного стискання, у кубі збуджуються інтенсивні власні коливання також і у напрямках, паралельних поверхні кварцу. Оскільки п'єзопластинка може бути збуджена на дуже великому числі гармонік, завжди можна підібрати одну чи декілька гармонік, для яких резонанс куба буде особливо сильний. При відображенні звичайним методом зображення освітленого отвору діафрагми крізь осцилюючий куб на екран, виникають надзвичайно характерні дифракційні фігури. Для ізотропних речовин форма цих фігур залежить виключно від пружних сталих осцилюючого тіла, а для неізотропних  ще і від напрямку світлового пучку. Отримані дифракційні фігури, однак, абсолютно не залежать від форми осцилюючого тіла. Це пояснюється тим, що довжина звукових хвиль, визначаючих дифракцію, має величину порядку 0.010.1 мм і, таким чином, достатньо мала в порівнянні з розмірами тіла, що коливається. Тому граничними умовами у цьому випадку можна знехтувати і вважати куб, що коливається, нескінченно протяжним.

ТЕОРІЯ ФЮСА-ЛУДЛОФА ДЛЯ ОПИСУ ДИФРАКЦІЇ ШЕФФЕРА-БЕРГМАНА

Оптичне дифракційне зображення складається з великої кількості розташованих поруч інтерференційних точок, що можна пояснити припущенням про існування у осцилюючому тілі множини тривимірних просторових ґраток, з яких кожна дає тільки малу кількість інтерференційних точок.

Для пояснення існування в осцилюючому тілі множини різноманітних ґраток Фюс і Лудлоф висувають припущення про збудження в кристалі усіх тих власних коливань, які при даній частоті знаходяться досить близько від резонансу. Враховуючи кінцеву ширину резонансної кривої збуджуючого п’єзоперетворювача, можна вважати, що загальна кількість збуджуваних власних коливань приблизно дорівнює по кількості 100.

Як вже було вказано вище, форма інтерференційної кривої не залежить від форми границь тіла, що коливається, тому останнє можна вважати нескінченно протяжним, таким чином, власними коливаннями можна вважати усі плоскі хвилі, які проходять крізь кристал у довільному напрямку. Розглянемо плоскі хвилі, які відповідають одній частоті та поширюються у всіх напрямках. Довжини цих хвиль будуть однаковими, і полярна діаграма довжин хвиль буде відображати симетрію та пружні властивості кристала. Тільки для випадку ізотропного тіла фазова поверхня цих хвиль має форму сфери; для кристалічних тіл отримаємо поверхні вищих порядків.

Щоб знайти зв’язок між збуджуючою частотою та довжиною пружних хвиль, для кожного кристалічного типу записується система з трьох хвильових рівнянь, які отримуються з форми пружного потенціалу відповідного анізотропного середовища. Інтегрування цієї системи рівнянь для випадку плоских хвиль, дає рівняння шостого степеня, що містить, окрім частоти, тільки хвильовий вектор та пружні сталі середовища. Рівняння визначає поверхню шостого порядку, яку ми будемо називати фазовою поверхнею. Ця поверхня представляє собою геометричне місце кінців радіус-векторів, довжина яких дорівнює величині хвильового вектора

(24)

у відповідному напрямку, який характеризується одиничним вектором , нормальним до хвильової поверхні.

Оскільки, згідно теорії пружності, кожному напрямку розповсюдження відповідають три хвилі, фазова поверхня складається з трьох порожнин. Вектори зміщення у кожній трійці хвиль взаємно перпендикулярні та утворюють прямокутну систему координат.

Далі необхідно знайти зв’язок між фазовою поверхнею та інтерференційною кривою, тобто визначити, які з пружних хвиль приймають участь у створенні інтерференційної картини. Згідно теорії дифракції світла на ультразвуку Рамана і Ната, дифракційні картини помітної інтенсивності створюються тільки світловими пучками, майже паралельними фронту звукової хвилі. Тому поява інтерференційних фігур обумовлена в основному хвилями, коливання яких є повздовжніми і напрямлені перпендикулярно до напрямку світлового пучка, тобто, хвилями, для яких хвилевий вектор майже перпендикулярний до світлового пучка. Для світла, що дифрагувало на цих хвилях, у випадку ізотропного середовища повинна виконуватися формула Брегга (8). При заданому розміщені кристала відносно напрямку падіння світла і при заданій величині формула Брегга виділяє одномірну множину плоских хвиль.

Рис. 15. Схематичне зображення дифракції світла в ізотропному середовищі.

На рисунку 15 схематично зображена дифракція світла на одній з таких хвиль в ізотропному середовищі. Площина рисунка проходить крізь вхідний промінь, падаючий на кристал, і крізь хвильовий вектор пружної хвилі. Кінець вектору лежить на фазовій поверхні . Промінь, який приймає участь у створені інтерференційної картини, відхиляється, зустрівши звукову хвилю, на кут 2, а по виходу з кристала це відхилення збільшується внаслідок заломлення в n разів.

Нехай відхилений таким чином промінь падає на екран S у точці, яка лежить на відстані r від центральної плями. Якщо позначити відстань від кристала до екрана як A, то при малих кутах відхилення з достатньою точністю можна вважати . Звідси при врахуванні формули Брегга отримаємо

, (25)

де . Рисунок 15 показує, що відхилення променя в інтерференційній картині приблизно відтворює збільшену у відношенні величину вектора , тобто інтерференційна картина відображує перетин фазової поверхні площиною, яка перпендикулярна до напрямку падаючого променя. Тому виходить, що для побудови інтерференційних кривих досить знайти перетин визначеної вище поверхні площиною, яка перпендикулярна до напрямку падаючого світла. При цьому у загальному випадку маємо криві шостого порядку. Іноді криві шостого порядку розпадаються на одну криву четвертого порядку та еліпс або коло. Згідно теорії, поява еліпсів обумовлена чисто поперечними хвилями; у даному випадку ці хвилі не викликають дифракції світла, оскільки напрямок зміщень в них співпадає з напрямком проходження світла крізь кристал.

Теорія Фюса-Лудлофа дає, таким чином, простий метод визначення пружних сталих кристалів. З цією метою досить виміряти відрізки, які відсікаються інтерференційними кривими на осях координат і на прямій, що проходить через початок координат під кутом 45^ до осей. Позначимо пари точок перетину інтерференційної кривої з горизонтальною віссю літерами aa та bb; з вертикальною віссю  літерами cc та dd і з прямою, нахиленою під кутом 45^,  літерами ee та ff.

Для визначення шести пружних сталих кристала тетрагональної системи (до якої належить парателурит TeO₂, що використовується у даній роботі) за інтерференційними фігурами служать наступні рівняння:

- для спостереження паралельно осі a:

(26)

- для спостереження паралельно осі c:

(27)

Коефіцієнт пропорційності, який входить у ці рівняння, складається тільки з відомих величини  частоти f пружних коливань кристала та сталих, що характеризують дослідну установку, а саме: A  відстань між кристалом і площиною зображення та   довжина світлової хвилі.

Значення пружних сталих з двома однаковими індексами безпосередньо обчислюються за довжинами відрізків, що відсікаються на осях; відрізок прямої, нахиленої під кутом 45, дає комбінацію, яка включає як невідомі ще сталі з різними індексами, так і вже відомі.

115