- •Раздел 2
- •1. Дискретные одномерные
- •1.1. Закон распределения дсв. Функция распределения дсв
- •Свойства функции распределения
- •1.2. Числовые характеристики дсв
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •1.3. Законы распределения дсв
- •Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •Закон Пуассона
- •2. Непрерывные одномерные
- •Интегральная и дифференциальная функции распределения нсв
- •Свойства интегральной функции нсв
- •Свойства дифференциальной функции нсв
- •Числовые характеристики нсв
- •Законы распределения нсв
- •2.3.1. Равномерное распределение
- •2.3.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •2.3.3. Элементы теории надежности
- •2.3.4. Нормальное распределение
- •Свойства плотности вероятности нормального распределения
- •3. Моменты случайной величины
- •4. Закон больших чисел
- •5. Системы двух
- •Свойства интегральной функции распределения
- •Свойства дифференциальной функции распределения
Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
.
Доказательство. Рассмотрим постоянную величину как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью . Следовательно,
.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
.
Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:
.
Запишем закон распределения случайной величины :
.
Найдем по формуле (1.2) математическое ожидание случайной величины :
.
Итак,
.
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
Доказательство. Пусть независимые случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей. Чтобы упростить выкладки, ограничимся малым числом возможных значений:
и .
Составим закон распределения случайной величины , который примет следующий вид:
.
Математическое ожидание равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:
.
Итак,
.
Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
.
Свойство 4 примем без доказательства.
Как мы отметили выше, математическое ожидание СВ характеризует среднее этой СВ, это центр ее распределения. Вторая отличительная особенность СВ – степень разброса этой величины по отношению к ее центру. Наиболее употребительной оценкой указанного разброса является дисперсия.
На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения СВ и затем найти их средне значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. для любой СВ. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимное погашение среднее значение отклонения равно нулю.
Определение 1.7. Дисперсией (рассеянием) дискретной СВ называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:
. (1.3)
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема 1.1. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ X и квадратом ее математического ожидания:
. (1.4)
Доказательство. Математическое ожидание есть постоянная величина, следовательно, и есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и используя свойства математического ожидания, упростим формулу, выражающую определение дисперсии:
Итак,
.
Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
.
Доказательство. По определению дисперсии
.
Используя свойство математического ожидания, получаем
.
Итак,
.
Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяние, конечно, не имеет.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
.
Доказательство. По определению дисперсии
.
Используя свойство математического ожидания, получаем
.
Итак,
.
Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин:
.
Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин:
.
Свойства 3 и 4 примем без доказательства.
Дисперсия как мера рассеивания значений СВ обладает тем недостатком, что ее размерность не совпадает с размерностью СВ (размерность дисперсии – это квадрат размерности СВ).
Поэтому вводится еще одна мера рассеивания с размерностью, совпадающей с размерностью СВ. Это так называемое среднее квадратическое отклонение.
Определение 1.8. Средним квадратическим отклонением СВ X называют квадратный корень из дисперсии:
. (1.5)
Дадим определение еще одной числовой характеристики, как мода ДСВ.
Определение 1.9. Модой Mo ДСВ X называется ее наиболее вероятное значение.
Пример 1.3. СВ X задана законом распределения:
.
Построить функцию распределения и ее график. Найти числовые характеристики заданного закона распределения.
Решение. 1) Найдем функцию распределения ДСВ X. Значения СВ X: разбивают числовую прямую на четыре промежутка .
Если , то .
Если , то .
Если , то .
Если , то .
Таким образом, получаем следующую функцию распределения:
.
График данной функции имеет вид:
2) Найдем числовые характеристики ДСВ X.
Найдем математическое ожидание:
.
Найдем дисперсию:
.
Найдем среднее квадратическое отклонение:
.
Мода соответственно равна Mo=10.
Пример 1.4. Найти закон распределения ДСВ , которая может принимать только два значения с вероятностью и (причем ), если известны математическое ожидание и дисперсия .
Решение. Поскольку , а , то . Тогда имеем следующий закон распределения:
.
По формулам (1.2) и (1.4) получаем:
;
.
Составляем систему уравнений
.
Решив систему уравнений, получаем два решения: , или , . По условию задачи подходит первое решение.
Итак, , .