Свойства функции распределения
функция распределения монотонно не убывает;
функция распределения непрерывна слева;
.
Пример 1.1. Вероятности безотказной
работы двух технических устройств за
время
соответственно равны
и
.
Построить ряд распределения СВ X,
где СВ X
число безотказно работающих технических
устройств за время
.
Построить функцию распределения.
Решение. СВ X в
задачи могут принимать следующие
значения:
ни одно техническое
устройство не работало безотказно за
время
;
только одно
техническое устройство работало
безотказно за время
;
оба технических
устройства работало безотказно за время
.
Так как
и
,
то
и
.
Найдем вероятности появления каждой из СВ X:
;
;
.
Тогда получаем следующий ряд распределения:
.
Проверка:
.
Найдем функцию распределения ДСВ X.
Значения СВ X:
разбивают числовую прямую на четыре
промежутка
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Таким образом, получаем следующую функцию распределения:
.
1.2. Числовые характеристики дсв
Можно считать, что закон распределения полностью характеризует СВ. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают СВ суммарно: такие числа называют числовыми характеристиками СВ. К числу важных числовых характеристик относятся: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана.
Определение 1.3. Математическим
ожиданием ДСВ (обозначается
)
называют сумму произведения всех
ее возможных значений
на их вероятности
:
.
(1.2)
Замечание: Из определения следует, что математическое ожидание ДСВ есть неслучайная (постоянная) величина.
В случае счетнозначной величины, которая может принимать значения x1, x2, …, xn, … с вероятностями p1, p2, …, pn, …,
,
где предполагается абсолютная сходимость ряда, в противном случае считают, что у данной СВ нет математического ожидания.
Математическое ожидание приближенно равно среднему значению СВ.
Прежде чем рассмотреть свойства математического ожидания, введем еще несколько понятий: независимые СВ, произведение независимых СВ, сумма СВ.
Определение 1.4. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Определение 1.5. Произведением
независимых случайных величин
и
называют случайную величину
,
возможные значения которой равны
произведениям каждого возможного
значения
на каждое возможное значение
.
Вероятности возможных значений
произведения
равны произведениям вероятностей
возможных значений сомножителей.
Определение 1.6. Суммой случайных
величин
и
называют случайную величину
,
возможные значения которой равны суммам
каждого возможного значения
с каждым возможным значением
.
Вероятности возможных значений
для независимых величин
и
равны произведениям вероятностей
слагаемых; для зависимых – произведениям
вероятности одного слагаемого на
условную вероятность второго.
Пример 1.2. Даны законы распределения двух независимых ДСВ. Найти закон распределения .
и
.
Решение. 1) Составим закон распределения
СВ
.
Случайные величины и их вероятности
принимают следующие значения:
и
;
,
и
;
и
.
Тогда закон распределения имеет вид:
.