Стохастические модели управления запасами

Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у которых спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается на характере соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ, в связи с чем в рамках данной книги ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.

Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения р(r) или плотность вероятностей φ(r) (обычно функции р(r) и φ(r) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат c₂ на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с₃ на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

(28)

В выражении (28) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка s-r единиц продукта (при r≤s), а второе слагаемое - штраф за дефицит на r-s единиц продукта (при r>s).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей φ(r), выражение C(s) принимает вид:

(29)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (28) или (29) принимает минимальное значение.

Доказано, что при дискретном случайном спросе r выражение (28) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенствам

(30)

а при непрерывном случайном спросе r выражение (29) минимально при значении s₀, определяемом из уравнения

(31)

где

(32)

есть функция распределения спроса r, F(s₀) и F(s₀+1) - ее значения; ρ - плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по (24).

Оптимальный запас s₀ при непрерывном спросе по данному значению ρ может быть найден и графически (рис. 4).

►

16.6. Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока равна 5 ден. ед. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдется в 100 ден. ед. Опытное распределение агрегатов по числу блоков, потребовавших замену, представлено в табл. 1.

Таблица 1

Число замененных блоков r	0	1	2	3	4	5	6
Статистическая вероятность
(доля) агрегатов р(r), которым	0,90	0,05	0,02	0,01	0,01	0,01	0,00
потребовалась замена r блоков

Необходимо определить оптимальное число запасных блоков, которое следует приобрести вместе с агрегатом.

Решение. По условию с₂ = 5, с₃ = 100. Вычислим плотность убытков из-за нехватки запасных блоков по формуле (24) ρ = 100/(5+100) = 0,952.

Учитывая (32), найдем значения функции распределения спроса (таб. 2).

Таблица 2

s	0	1	2	3	4	5	6	>6
r	0	1	2	3	4	5	6	>6
F(s)	0,00	0,00	0,90	0,95	0,97	0,98	0,99	1,00

Очевидно (таб. 2), что оптимальный запас составит s₀=3, ибо он удовлетворяет неравенству (30): F(3) < 0,952 < F(4). ►

►16.7. Решить задачу 16.6 при условии непрерывного случайного спроса r, распределенного по показательному закону с функцией распределения F(r) = 1 - е^-λr при λ = 0,98.

Решение. Оптимальное число запасных блоков s₀ найдем из уравнения (31): откуда и При λ = 0,98 s₀ = - (1/0,98) ln 0,02 ≈ 4 (блока).

В условиях рассматриваемой модели предположим, что расходование запаса происходит непрерывно с одинаковой интенсивностью. Такую ситуацию можно представить графически (рис. 5).

Рис.5

Рис. 5, а соответствует случаю r ≤ s , когда спрос не превосходит запаса, а рис. 5, б - случаю, когда спрос превышает запас, т.е. r> s. Следует отметить, что на самом деле график J(t) представляет ступенчатую ломаную, показанную на рис. 5 пунктиром, но для исследования модели нам проще рассматривать J(t) в виде прямой, сглаживающей эту ломаную.

Средний запас, соответствующий рис. 5, а, равен

(33)

Средний запас, соответствующий рис. 6, б с учетом формулы (17), в которой полагаем n = r, составляет

(34)

Средний дефицит продукта за период T₂ для случая, соответствующего рис. 5, бс учетом (17), где n = r, равен

(35)

Математическое ожидание суммарных затрат составит:

(36)

Доказано, что в этом случае математическое ожидание (36) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенству

L (s₀) < ρ < L (s₀ + 1), (37)

где ρ по-прежнему определяется по формуле (24):

(38)

L(s₀) и L(s₀+1) - значения функции (38), a F(s) находится в соответствии с определением (32).

►16.8. Имеющиеся на складе изделия равномерно расходуются в течение месяца. Затраты на хранение одного изделия, составляют 5 ден. ед., а штраф за дефицит одного изделия обходится в 100 ден. ед. Изучение спроса дало распределение числа потребляемых за месяц изделий (таб. 3).

Таблица 3

Спрос r	0	1	2	3	4	5	≥6
Статистическая
вероятность р(r)	0.1	0.2	0,2	0,3	0,1	0,1	0,0

Необходимо, определить оптимальный месячный запас склада.

Решение. Так же как в задаче 16.6, c₂ = 5, с₃ = 100, ρ= 0,952.

Значения функции L(r) определим с помощью табл. 4.

Таблица 4

s	r	p(r)				F(r)	L(r)
0	0	0,1	—	—	—	0,0	—
1	1	0,2	0,200	0,445	0,2225	од	0,3225
2	2	0,2	0,100	0,245	0,3675	0,3	0,6675
3	3	0,3	0,100	0,145	0,3625	0,5	0,8625
4	4	0,1	0,025	0,045	0,1575	0,8	0,9575
5	5	0,1	0,020	0,020	0,0900	0,9	0,9900
≥6	≥6	0,0	0,000	0,000	0,0000	1,0	1,0000

Очевидно, что оптимальный запас изделий s₀ = 3, ибо он удовлетворяет условию (37): L(3) < 0,952 < L(4).