Глава 2. Интерференционная рефрактометрия

Краткая теория

1. Что такое интерференционная рефрактометрия

В широком смысле рефрактометрией называют раздел оптической техники, посвященный методам и средствам измерения показателя преломления.

В фармации под рефрактометрией понимают комплекс методов исследования веществ, основанных на измерении их показателей преломления.

Абсолютный показатель преломления является одним из основных параметров вещества, поэтому по его значению можно судить об агрегатном состоянии вещества, а также химическом составе. Эта возможность успешно используется для фармацевтического анализа. Рефрактометрия применяется в фармации для установления подлинности и чистоты вещества, а также для определения концентрации вещества в растворе [1].

Приборы, предназначенные для определения показателя преломления, называются рефрактометрами.

Методы рефрактометрии можно разделить на две группы (см. табл.1).

Таблица 1. Две группы рефрактометрических методов.

Название группы	1. Методы, непосредственно использующие закон преломления света	2. Интерференционные методы (Интерференционная рефрактометрия)
Величина, непосредственно измеряемая в эксперименте	Углы отклонения световых лучей	Разность хода световых пучков
Используемые приборы	Призменные рефрактометры типа Аббе	Интерференционные рефрактометры
Точность определения показателя преломления	до 10-4 (до четвертого знака после запятой включительно)	до 10-7 (до седьмого знака после запятой включительно)
Область применения	Для любых жидкостей	Для слабопоглощающих жидкостей

Интерференционной рефрактометрией называют группу методов измерения показателя преломления, основанных на использовании интерференции света.

2. Интерференция света

Интерференция света — это явление пространственного перераспределения интенсивности света при наложении двух или большего числа световых волн² [2].

При наложении световых волн интерференция наблюдается не всегда, а только когда эти волны когерентны по отношению друг к другу. Волны называются когерентными, если в каждой точке их наложения они имеют постоянную во времени разность фаз.

Чтобы лучше понять, о каком перераспределении интенсивности идет речь в определении интерференции, обратимся к рис. 1.

На рис.1а на экран падает световая волна 1, которая создает на экране распределение интенсивности света I₁. На рис.1б на экран падает световая волна 2, которая создает на экране распределение интенсивности света I₂.

Если на экран одновременно падают волны 1 и 2 и эти волны некогерентны, распределение интенсивности I, возникающее на экране, будет простой суммой интенсивностей I₁ и I₂: I = I₁ + I₂.

Если волны 1 и 2 когерентны, распределение интенсивности I, возникшее на экране, будет отличаться от простой суммы интенсивностей I₁ и I₂ (см. рис.1в): в одних точках экрана будет I > I₁ + I₂ , а в других будет I < I₁ + I₂. В появлении этого отличия и заключается перераспределение интенсивности, называемое интерференцией. В результате интерференции на экране вместо светового пятна будет наблюдаться картина из чередующихся светлых и темных полос, называемых интерференционными полосами.

Р ис. 1. Пространственное перераспределение интенсивности света при наложении двух когерентных волн.

Выясним, каким именно будет распределение интенсивности света на экране в случае наложения двух когерентных волн (см. рис. 1в).

В качестве волн 1 и 2 возьмем две плоскиме монохроматические волны, имеющие одинаковые частоты и начальные фазы³. Уравнения таких волн можно записать в виде

, (1)

, (2)

где и - напряженности электрических полей, создаваемых, соответственно, волнами 1 и 2 в точке с радиус-вектором ;

и - волновые векторы волн 1 и 2 в той же системе координат, в которой определен радиус-вектор .

По принципу суперпозиции напряженность результирующего электрического поля, создаваемого волнами 1 и 2 в некоторой точке М области их наложения, будет равна векторной сумме напряженностей волн 1 и 2 в данной точке:

.

Рассмотрим случай, когда направления векторов напряженности электрических полей обеих волн в точке М совпадают. Тогда в выражении для результирующей напряженности можно перейти от векторного равенства к скалярному:

, (3)

где напряженности электрических полей волн и пределяются выражениями (1) и (2).

Подставив выражения (1) и (2) в формулу (3), получим сумму двух гармонических колебаний с одинаковой частотой ω. Данная сумма также будет являться гармоническим колебанием частоты ω и может быть записана в виде

. (4)

Амплитуду А и начальную фазу φ результирующей напряженности (4) можно найти методом векторных диаграмм.

На диаграмме (см. рис. 2) каждое гармоническое колебание изображается в виде вектора, имеющего длину, равную амплитуде колебания, и вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью, равной циклической частоте колебания. Угол, который составляет вектор колебания с горизональной осью, равен фазе колебания в данный момент времени⁴.

Р ис. 2. Сложение двух гармонических колебаний с помощью векторной диаграммы.

Из треугольника ОА₁А по теореме косинусов находим амплитуду результирующей напряженности А:

.

Из параллелограмма ОА₁АА₂ находим угол α:

→ .

Тогда .

С учетом данного выражения для cos α формула для амплитуды результирующей напряженности электрического поля в точке М запишется в виде

. (5)

Учитывая, что интенсивность плоской монохроматической волны прямо пропорциональна квадрату ее амплитуды, можно переписать выражение (5) в вдие

(6)

Выражение (6) описывает распределение интенсивности света в области наложения когерентных волн (1) и (2) и называется уравнением интерференции.

Из уравнения интерференции (6) можно вывести условия получения максимума и минимума интенсивности в интерференционной картине. Как видно из формулы (6), результирующая интенсивность будет максимальна в тех точках картины, в которых cos ΔΦ₁₂ = 1, и минимальна в точках, где cos ΔΦ₁₂ = -1.

Таким образом, условие максимума интерференционной картины запишется в виде

или (7)

где m = 0, ±1, ±2, … .

Условие минимума интерференционной картины будет иметь вид

или (8)

где m = 0, ±1, ±2, … .

Обычно в эксперименте непосредственно устанавливается не сама разность фаз ΔΦ₁₂, а оптическая разность хода волн Δ₁₂. Поэтому запишем условия (7) и (8) в терминах оптической разности хода.

Оптическим путем L, пройденным волной, называют величину, равную

где l₁, l₂, … - геометрические длины отрезков пути, пройденного волной, а

n₁, n₂, … - показатели преломления сред на этих отрезках.

Пусть волна 1 прошла до точки наблюдения оптический путь L₁, а волна 2 — оптический путь L₂. Тогда оптической разностью хода волн 1 и 2 в данной точке будет называться величина Δ₁₂, равная

Если волны 1 и 2 прошли от своих источников до точки наблюдения разные оптические пути, они будут иметь в точке наблюдения некоторую разность фаз, определяемую возникшей разностью хода.

Для двух плоских монохроматических волн, имеющих одинаковую частоту (а, значит, и одинаковую длину волны в вакууме λ₀) разность фаз 2π радиан соответствует оптической разности хода равной λ₀. Тогда разность фаз ΔΦ₁₂ будет соответствовать разности хода Δ₁₂, равной

(9)

С помощью выражения (9) можно записать условия (7) и (8) через оптическую разность хода волн 1 и 2.

Условие максимума интенсивности: (7a)

Условие минимума интенсивности: (8a)

где m = 0, ±1, ±2, … .