Неполный факторный анализ

В полном факторном эксперименте разность между числом опытов и числом коэффициентов велика. Надо уменьшать число опытов. Эксперимент 2⁷ уже содержит 128 прогонов (и это без повторений): 2⁷ = 128.

Таблица 7.5.4

k	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

С ростом числа факторов k число комбинаций переменных растет, растет число взаимодействий высокого порядка. Это демонстрируется в таблицах 7.5.4 и 7.5.5. (Полное число взаимодействий равно , где k - число факторов, m - число элементов во взаимодействии).

Таблица 7.5.5

	2 k	Число главных эффектов	Число взаимодействий
			1й порядок	2й порядок	3й порядок	4..	5...
5	32	5	10	10	5	1
6	64	6	15	20	15	6	1
7	128	7	21	35	35	21	7
8	256	8	28	56	70	56	28

При больших k появляются взаимодействия очень высоких порядков. Часто на основе априорных и общих соображений их предполагают пренебрежимыми. Т.к. взаимодействия высоких порядков соответствуют членам высокого порядка в регрессионном полиноме -члены высокого порядка полагаются равными нулю, и считается, что полином низкого порядка дает адекватного регрессионное уравнение. А если некоторые эффекты предполагаются равными нулю, то мы не обязаны делать наблюдение во всех 2 экспериментальных точках, можно сделать только часть точек -т.е. поставить дробный факторный эксперимент.

Оказывается, что если нас не интересуют взаимодействия высокого порядка (пренебрегаем некоторыми эффектами взаимодействия, в этом случае -члены полинома высокого порядка можем принять за 0), мы можем получить достаточное количество информации с помощью исследования лишь некоторой части (1/2, 1/4, 1/8 и т.д.) всех возможных комбинаций (реализовать часть экспериментальных точек или дробный факторный эксперимент).

Неполным факторным планом называется план эксперимента, если в факторном эксперименте производится лишь часть всех возможных повторений. Такой эксперимент называется дробным факторным экспериментом, а его матрица планирования — дробной репликой.

Всякий раз, когда мы используем выборку меньшую, чем этого требует полный факторный план, мы платим за это риском смешивания эффектом. Под смешиванием мы понимаем то, что статистик, измеряя один эффект, в то же время измеряет, возможно, и некоторый другой эффект. Например, если главный эффект смешивается с взаимодействиями более высокого порядка, то эти два эффекта уже невозможно отделить друг от друга. Т.е., если наш анализ показывает наличие некоторого эффекта, то мы не можем с уверенность сказать, главный ли это эффект, или эффект взаимодействия, или некоторая аддитивная комбинация этих эффектов.

Поэтому экспериментатору необходимо выбирать эффективную стратегию экспериментирования. При построении неполного факторного плана экспериментатор должен определить эффекты, смешивание которых он может допустить. Вообще говоря, лучше спутать взаимодействия высокого порядка, чем главные эффекты. Обычно, можно надеяться, что взаимодействия высокого порядка отсутствуют, и можно получить разумную информацию о главных эффектах или взаимодействиях низкого порядка. Эффективная стратегия экспериментирования или успех неполного факторного эксперимента достигается в случае, если его план позволяет не смешивать ни один главный эффект с другим.

Когда 2 или более эффекта смешиваются, то говорят, что они являются совместными.

Таблица 7.5.6

Пример

Х1	Х2	Х3 = (Х1Х2)	Y
-	-	+	Y1
+	-	-	Y2
-	+	-	Y3
+	+	+	Y4

Пользуясь планом (табл.7.5.6.), можно вычислить 4 коэффициента и представить результаты:

. (7.5)

Если предположить и считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить 3 коэффициента: b₀, b₁, b₂.

Оставшуюся степень свободы используем для минимизации числа опытов. При b₁₂  0 столбец х₁х₂ используется для нового фактора х₃. Но теперь оценки будут смешанные. Оценки смешаются следующим образом:

Это так называемые смешанные эффекты или эффекты, оцениваемые совместно (вместе). Однако основные эффекты оцениваются раздельно друг от друга. Не огорчайтесь! Мы постулируем линейную модель, значит все парные взаимодействия незначимы.

.

Главное, что мы минимизировали число опытов вместо 8 опытов для 3 факторов можно поставить 4. При этом матрица планирования не потеряла своих свойств (ортогональность, ротатабельность и т.п.) — можете самостоятельно убедиться.

Правило: Чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца.

Т.о., поставив 4 опыта для оценки влияния 3-х факторов, мы воспользовались половиной полного факторного эксперимента 2³, т.е. "полурепликой".

Если х3 то получили бы 2-ую половину матрицы 2³ (см. табл.7.5.3.), объединение этих 2-х полуреплик есть полный факторный эксперимент 2³. Есть две полуреплики 2^3-1: 1 случай —когда х₃ приравниваем к х₁х₂; 2 случай — х₃ приравниваем к -х₁х₂.

Для обозначения дробных реплик, в которых p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, используют условные обозначения 2^k-p Например, полуреплика от 2⁶ – обозначается 2^6-1. Бывают реплики большей дробности (см. табл.7.5.7.). Например, при 15 факторах можно в 2048 раз сократить число опытов, применяя реплику большей дробности (поставить16 опытов вместо 32768)

Таблица 7.5.7

Примеры дробных реплик

		Число опытов
		Дробная реплика	Полный факторный эксперимент
1/2 реплики от 24	24-1	8	16
1/2 реплики от 25	25-1	16	32
1/4 реплики от 26	26-1	16	64
1/8 реплики от 26	26-3	8	64
1/2048 реплики от 215	215-11	16	32768

Символическое обозначение произведения столбцов, равного + 1 или -1, называется определяющим контрастом.

Контраст помогает определять смешанные эффекты. Для того, чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту.

Так, если 1 = х₁х₂х₃, то

,

,

.

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфактор-ными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III. (по наибольшему числу факторов (символов) в определяющем контрасте). Обозначают такие планы 2³¹щ Разрешающая способность плана равна наименьшему числу символов в коде определяющего контраста.

Неполный факторный анализ используется на начальной стадии исследования в случае наличия больше 4 факторов, когда необходимо выявить наиболее существенные переменные. Если число переменных меньше 4 -ставят полный факторный эксперимент.

Итак, резюмируем наше рассуждение:

Дробные реплики применяются при получении линейных моделей.

Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия.

При построении дробных реплик используют правило:

для того, чтобы сократить число опытов при введении в планирование нового фактора, нужно поместить этот фактор в вектор столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.

Реплики, которые используются для сокращения опытов в 2m раз, где m = 1,2,3,4.... называются регулярными и пользуются популярностью, т.к. расчет коэффициентов производится также просто, как в случае полного факторного эксперимента (см. техника регрессионного анализа).

При применении дробных реплик линейные эффекты смешиваются с эффектами взаимодействия. Чтобы определить систему смешивания, надо знать определяющие контрасты и генерирующие соотношения.

Эффективность реплики зависит от системы смешивания реплики, у которых линейные эффекты смешаны с взаимодействиями наивысшего порядка, являются наиболее эффективными, т.к. обладают наибольшей разрешающей способностью.