2.5.1. Построение начального опорного плана

Пусть ЗЛП представлена системой ограничений в каноническом виде:

, .

Говорят, что ограничение ЗЛП имеет предпочтительный вид, если при неотрицательности правой части ( ) левая часть ограничения содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а в остальные ограничения-равенства – с коэффициентами, равными нулю. Например, в системе ограничений первое и второе ограничения имеют предпочтительный вид, а третье – нет.

Если каждое ограничение-равенство ЗЛП в каноническом виде содержит переменную, входящую в левую часть с коэффициентом, равным единице, а во все остальные с коэффициентами, равными нулю (при неотрицательности правых частей), то говорят, что система ограничений представлена в предпочтительном виде. В этом случае легко найти ее опорное решение (базисное с неотрицательными координатами): все свободные переменные нужно приравнять нулю, тогда базисные переменные будут равны свободным членам. Например, в системе ограничений предпочтительными (базисными) являются переменные , свободными . Приравниваем свободные переменные нулю, тогда базисные переменные примут значения . Имеем план . Если полученный план будет иметь не более отличных от нуля координат, то, согласно теореме о структуре координат крайней точки, он будет оптимальным.

Приравнивание предпочтительных переменных к правым частям дает базисное решение, т.е. крайнюю точку многогранника решений. Поэтому предпочтительные переменные – базисные. Переменные, приравниваемые нулю, - свободные.

Пусть система ограничений имеет вид:

, .

Сведем задачу к каноническому виду. Для этого добавим к левым частям неравенств дополнительные переменные . Получим систему эквивалентную исходной:

, ,

которая имеет предпочтительный вид. И, следовательно, начальный опорный план примет вид: . В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами, равными нулю, т.е. .

Пусть система ограничений имеет вид:

, .

Сведем ее к эквивалентной вычитанием дополнительных переменных из левых частей неравенств системы. Получаем систему

, .

Однако теперь система не имеет предпочтительного вида, так как дополнительные переменные входят в левую часть (при ) с коэффициентами, равными . Поэтому, вообще говоря, базисный план является недопустимым. В этом случае вводится так называемый искусственный базис. К левым частям ограничений-равенств, не имеющих предпочтительного вида, добавляют искусственные переменные . В целевую функцию переменные вводят с коэффициентом в случае решения задачи на минимум и с коэффициентом для задачи на максимум, где  большое положительное число. Полученная задача называется М-задачей, соответствующей исходной. Она всегда имеет предпочтительный вид.

Пусть исходная ЗЛП имеет вид:

;

,

,

причем ни одно из ограничений не имеет предпочтительной переменной. М-задача запишется так:

;

,

,

где знак «» в целевой функции относится к задаче на максимум. М-задача имеет предпочтительный вид. Ее начальный опорный план .

Если некоторые из уравнений исходной ЗЛП имеют предпочтительный вид, то в них не следует вводить искусственные переменные.

Теорема 2.4. Если в оптимальном плане М-задачи все искусственные переменные , то план является оптимальным исходной ЗЛП.

Теорема 2.5. Если в оптимальном плане М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то исходная ЗЛП не имеет допустимых планов, т.е. ее условия несовместны.

Чтобы найти опорное (неотрицательное) решение системы линейных уравнений, удобно данную систему записывать в виде в так называемой форме модифицированной жордановой таблицы (по имени французского математика К. Жордано).

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными

Каждое уравнение системы можно представить в виде

Полученную систему уравнений записывают в виде жордановой таблицы:

Таблица 2.1.

Для отыскания опорного решения в жордановой таблице все свободные члены должны быть неотрицательными. Если в какой-то строке свободный член отрицательный, то все элементы этой строки умножаются на .

Далее выполняется возможное число шагов жордановых исключений.

Первый шаг. Выбираем разрешающий элемент среди положительных чисел основной части таблицы по наименьшему отношению свободных членов к соответствующим положительным элементам столбца, выбранного разрешающим, т.е. , где .

Второй шаг. Выполняем преобразования однократного замещения (ПОЗ) для модифицированной жордановой таблицы:

1. разрешающий элемент заменяется обратной величиной;

2. остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;

3. остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знак;

4. прочие элементы вычисляются по формуле , , где элемент  разрешающий,  элемент, стоящий в разрешающей строке и -том столбце,  элемент, стоящий в разрешающем столбце и -ой строке,  элемент, стоящий в -ой строке и -том столбце.

Если в ходе жордановых исключений появится строка, все элементы которой, кроме свободного члена, равны нулю, то данная система несовместна. В противном случае система совместна.

Система уравнений имеет бесконечное множество решений, если в верхней заглавной строке последней жордановой таблицы останется хотя бы одна переменная, и единственное решение, если все переменные окажутся в левом заглавном столбце.

Искомое опорное решение найдется приравниванием свободных (верхних) переменных нулю, а базисных (боковых) – свободным членам. Если в ходе жордановых исключений встретится 0-строка (нуль-строка), в которой все элементы неположительные, а свободный член неотрицателен, то данная система не имеет неотрицательных решений, хотя и является совместной.

Пример 2.8. Найти опорное (неотрицательное) решение системы

Решение. Так как свободные члены должны быть неотрицательными, то умножим предварительно третье уравнение на . Получаем

Запишем полученную систему уравнений в виде жордановой таблицы

.

В качестве разрешающего столбца можно взять любой столбец, содержащий хотя бы один положительный элемент. Возьмем, например, третий столбец. Разрешающую строку определим по наименьшему отношению свободных членов к положительным элементам третьего столбца: . Меньшее отношение соответствует третьей строке, которая и будет разрешающей. Элемент , стоящий на пересечении третьей строки и третьего столбца будет разрешающим (разрешающий элемент выделен квадратиком).

Переменная записывается в крайнем левом столбце в третьей строке. Столбец под номером 3 исключаем. Все элементы (в том числе и свободный член) делим на разрешающий элемент. Остальные элементы вычисляются по формуле , , где элемент  разрешающий,  элемент, стоящий в разрешающей строке и -том столбце,  элемент, стоящий в разрешающем столбце и -ой строке,  элемент, стоящий в -ой строке и -том столбце. Например,

; .

Выполняя шаг жорданова исключения, получаем следующую таблицу

.

В этой таблице за разрешающий возьмем первый столбец. По наименьшему из отношений находим разрешающую строку – это первая строка. Элемент  разрешающий элемент. Выполняем очередной шаг жордановых исключений, получаем следующую таблицу

.

В этой таблице разрешающим может быть лишь элемент , т.к. он единственный положительный элемент. После очередного шага жордановых исключений получаем

.

Полагая свободной переменной , находим одно из опорных решений .

Ответ: .



В случае, если дана система линейных неравенств, то с помощью добавления (вычитания) дополнительных (балансовых) переменных можно свести к эквивалентной системе уравнений.

Пример 2.9. Найти неотрицательное решение системы

Решение. В левую часть первого неравенства вводим балансовую переменную со знаком «+», в левую часть второго неравенства – балансовую переменную со знаком «». Присоединяя условие неотрицательности для дополнительных переменных, получаем следующую систему, эквивалентную исходной системе:

.

Эту систему записываем в жорданову таблицу. Поскольку переменная входит только во второе уравнение, причем с коэффициентом , то ее можно сразу отнести к базисным. Поэтому второе уравнение записываем не в форме 0-строки, а в виде, разрешенным относительно .

.

Находим какое-либо опорное решение, выполняя шаги жорданова исключения. Получаем следующую таблицу

.

Далее получаем

.

Из последней таблицы при нулевых значениях свободных переменных искомое неотрицательное решение исходной системы уравнений и неравенств равно: , , , , .

Ответ: .

