Переход к симметричной форме

ПЕРВЫЙ СПОСОБ. Пусть в ОЗЛП имеются ограничения-равенства

или

.

Каждое такое ограничение-равенство эквивалентно системе неравенств

Неравенство вида « » умножением обеих частей на ( ) преобразуются в неравенства вида « », и наоборот.

ВТОРОЙ СПОСОБ. Рассмотрим ЗЛП в каноническом виде. Приведем ее к симметричной форме.

Пусть ранг системы ограничений-равенств равен и . Тогда система будет иметь бесконечное множество решений. Не ограничивая общности, можно считать, что в матрице системы линейно независимы первые столбцов. Например, методом исключений Гаусса систему преобразуем к виду

.

Переменные называют базисными, а  свободными. Выражаем целевую функцию через свободные переменные. Для этого подставляем значения базисных переменных из полученных равенств в целевую функцию. На свободные переменные накладываем условие неотрицательности.

Пример 2.4. Привести к симметрической форме записи задачу, заданную в виде:

.

Решение. Так как целевая функция, по условию, максимизируется, то все ограничения в канонической форме записи должны иметь вид «». Поскольку в систему ограничений входят три неравенства, то исключим из системы любые три переменные. В данном случае удобно исключить из первого ограничения , из второго  и из третьего  . Учитывая неотрицательность переменных, получаем:

Подставив в целевую функцию, получаем:

.

Исключив , придем к эквивалентным неравенствам. В результате получаем следующую ЗЛП в симметрической форме:

. 

2.3. Геометрическая интерпретация и графическое решение злп

Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задачу линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которого больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно.

Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ОЗЛП, приводит к идее решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.

Пусть дана задача: найти  план задачи, если

(2.19)

(2.20)

. (2.21)

Дадим геометрическую интерпретацию элементов этой задачи. Каждое из ограничений (2.20) и (2.21) задает на плоскости некоторую полуплоскость. Полуплоскость – выпуклое множество. Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Отсюда следует, что область допустимых решений задачи (2.19)  (2.21) есть выпуклое множество.

На рисунке представлены возможные случаи области допустимых решений задачи линейного программирования.

Рис. 2.2. Выпуклый Рис. 2.3. Неограниченная выпуклая

многоугольник область

Рис. 2.4. Единственная Рис. 2.5. Луч

Точка

Рис. 2.6. Отрезок Рис. 2.7. Пустое множество

Перейдем к геометрической интерпретации целевой функции. Пусть область допустимых решений ЗЛП – непустое множество, например, многоугольник , рис. 2.8.

Рис. 2.8.

Выберем произвольное значение целевой функции . Получаем . Это уравнение прямой линии. В точках прямой MN целевая функция сохраняет одно и то же постоянное значение . Считая в равенстве (2.8) параметром, получим уравнение семейства параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции (линиями постоянного значения).

Возникает вопрос: как установить направление возрастания (убывания) целевой функции?

Найдем частные производные целевой функции по и :

, (2.22)

. (2.23)

Частная производная (2.22) (2.23) функции показывает скорость ее возрастания вдоль данной оси. Следовательно, и – скорости возрастания соответственно вдоль осей и . Вектор называется градиентом функции. Он показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции: .

Вектор ( ) указывает направление наискорейшего убывания целевой функции. Его называют антиградиентом.

Вектор перпендикулярен к прямой семейства .

Из геометрической интерпретации элементов задачи линейного программирования следует порядок ее графического решения.