14. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Второй закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси. На рис. 1.23.8 изображено некоторое твердое тело, вращающееся относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O. Выделим произвольный малый элемент массы Δm_i. На него действуют внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть   Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую   и радиальную   Радиальная составляющая   создает центростремительное ускорение a_n.

Касательная   и радиальная   составляющие силы  действующей на элемент Δmi твердого тела

Касательная составляющая   вызывает тангенциальное ускорение   массы Δm_i. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает 

Δmiaiτ = Fiτ = Fi sin θ  или  Δmiriε = Fi sin θ,

где   – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на r_i, то мы получим: 

Здесь   – плечо силы     – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm_i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает: 

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил. 

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. В итоге: 

Iε = M.

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины  ,  ,   определяются как векторы, направленные по оси вращения.

15

В классической механике, гармонический осциллятор — это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

F=-kx

где k — положительная константа, описывающая жёсткость системы.

Если F — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постояной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами смещения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь

16

Математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения:

Момент силы относительно точки О:  M = FL , и момент инерции: Момент инерции J в данном случае. Угловое ускорение:

С учетом этих величин имеем: или Его решение ,где круговая или циклическая частота   и период колебаний

Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной. При небольших углах отклонения α физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

 . Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

круговая или циклическая частота  и период колебаний.

Решение этого уравнения

Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е.   или . Из этого соотношения определяем

Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

17

Колебательные движения реальной колебательной системы всегда сопровождаются силами трения и сопротивления, которые приводят к уменьшению амплитуды колебаний. Если энергия, потерянная системой, не восполняется за счет внешних сил, то колебания системы называются затухающими, свободными или собственными.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы определяется как   (1)

где s – колеблющаяся величина, которая описывает тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, ω₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.  решение уравнения (1) в случае малых затуханий (ω0^2 >> δ^2 )    где     — амплитуда затухающих колебаний, а А0 — начальная амплитуда. Промежуток времени Т = 1/ δ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний становится меньше в е раз, называется временем релаксации. 

Если затухание мало, то можно условно использовать понятие периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины и будет равен    Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение    называется декрементом затухания, а его логарифм     — логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы. Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента будет равна    (так как затухание мало (ω0^2 >> σ^2 ), то T принято равным Т0). 

19

Волны – изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Процесс распространения колебаний в пространстве. Волна в отличие от колебаний характеризуется не только периодичностью во времени, но и периодичностью в пространстве. Основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества в пространстве.

Упругими (или механическими) волнами называются механи-ческие возмущения, возникающие и распространяющиеся в упругой среде. К упругим волнам относятся звуковые и сейсмические волны; к электромагнитным – радиоволны, свет и рентгеновские лучи.

Продольные – это волны, направление распространения которых совпадает с направлением смещения (колебания) частиц среды.

Поперечные – это волны, направление распространения которых и направление смещения (колебания) частиц среды взаимно перпендикулярны. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за один период: λ= vT или λ =v\ν , где λ - длина волны;

T – период волны, т.е. время, за которое совершается один полный цикл колебания; ν - частота, т.е. число периодов в единицу времени.

Направление волны определяется с помощью волнового вектора k. Направление волнового вектора совпадает с направлением вектора скорости: k= ω\v ,где ω - круговая или циклическая частота.

В акустике и оптике численное значение волнового вектора представляют в виде волнового числа: .

Уравнение плоской волны - выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию ее координат и времени, т.е. ξ = ξ(x, у, z, t), где ξ - смещение.

Эта функция должна быть периодической как относительно t, так и относительно x, у, z.

Бегущая волна — волновое движение, при котором поверхность равных фаз (фазовые волновые фронты) перемещается с конечной скоростью (постоянной для однородной среды). С бегущей волной, групповая скорость которой отлична от нуля, связан перенос энергии, импульса или других характеристик процесса. Бегущая волна - волна, которая при распространении в среде переносит энергию (в отличие от стоячей волны). Примеры: упругая волна в стержне, столбе газа, жидкости, электромагнитная волна вдоль длинной линии, в волноводе. Бегущая волна — волновое возмущение, изменяющееся во времени   и пространстве   согласно выражению

где   — амплитудная огибающая волны,   — волновое число и   — фаза колебаний. Фазовая скорость   этой волны даётся выражением

где   — это длина волны.

Фазовая скорость упругих волн:

а) продольных v=sqrtE\p

б) поперечных v=sqrtG\p

где E – модуль Юнга (характеристика упругих свойств среды, обратная коэффициенту упругости);

G – модуль сдвига (он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равен 45о, если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упругости). Понятие фазовой скорости справедливо для монохроматических волн.