12. Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера.

Произведение массы точки на квадрат ее расстояния до оси назовем моментом инерции материальной точки относительно оси:. Единица момента инерции в СИ — кг.м².

Твердое тело мы можем рассматривать как совокупность частиц с массами , расположенных на расстояниях  от оси вращения. Момент инерции твердого тела -  сумма моментов инерции составляющих его частиц.

Для разных осей вращения момент инерции одного и того же тела различен. Если известен момент инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс тела, то для расчета момента инерции  этого тела относительно другой оси, параллельной первой и отстоящей от нее на расстоянии d, используется соотношение, известное как теорема Штейнера:

Тело	Ось вращения проходит	Момент инерции I0
Обруч	через центр обруча перпендикулярно плоскости обруча	mR2
диск (цилиндр)	через центр диска перпендикулярно плоскости диска	0,5mR2
диск	через центр диска вдоль его диаметра	0,25mR2
Шар	через центр шара	0,4mR2
Стержень длиной 1	через середину тонкого стержня перпендикулярно ему	1/12 ml2

13. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса.  (2.1)

Это основное уравнение динамики вращательного движения тела: угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально сумме моментов всех действующих на него сил относительно оси вращения тела и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси вращения. Полученное уравнение аналогично по форме записи выражению второго закона Ньютона для поступательного движения тела.

Ускорению поступательного движения тела а соответствует угловое ускорение вращательного движения  . Аналогом силы F при поступательном движении, является момент силы М во вращательном движении, а аналогом массы тела m при поступательном движении, служит момент инерции тела I при вращательном движении.

Произведение момента инерции на угловую скорость вращения называется моментом импульса —  Вектор момента импульса направлен в ту же сторону, что и вектор угловой скорости (если ось вращения проходит через ось симметрии тела).

Момент импульса — одна из важнейших характеристик вращательного движения тела.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется: 

ΔL = 0, если M = 0.

Следовательно, 

L = Iω = const.

Это и есть закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса справедлив не только для одного тела, но и для любой замкнутой системы тел.