Формулы структурной амплитуды для кристаллов с разными ячейками Бравэ
Если атомы жестко связаны в структуру, то это будет структурная амплитуда – амплитуда луча, рассеянного одной элементарной ячейкой.
Наличие элементов
симметрии и непримитивность решетки
кристалла обусловливают взаимосвязь
координат отдельных атомов элементарной
ячейки. Наиболее простую форму взаимосвязи
дают центрированные решетки. Например,
в объемноцентрированной решетке (
- типа) все атомы связаны попарно: если
координаты одного атома
,
то обязательно имеется другой атом того
же сорта с координатами
(1).
Ранее была получена формула для расчета структурной амплитуды (рассеивающей способности) любого количества атомов:
, (2)
где , , . (3)
Формулу (2) запишем сначала с учетом (3), а потом (1)
.
(4)
Рассчитаем для кристалла - типа:
В этом случае формула (2) примет вид
.
(5)
Коэффициент,
стоящий перед знаком
,
может иметь только два значения: 2 при
,
,
и 0 при
,
.
Следовательно, отличную от нуля
интенсивность будут иметь только те
отражения, индексы которых удовлетворяют
соотношению
,
где
- четное число.
Таким образом, мы получили правило погасания для объемноцентрированной ячейки. Аналогичным способом можно найти формулу структурной амплитуды для других случаев непримитивных решеток.
Этот пример показывает, что совсем не обязательно проводить суммирование по всем атомам элементарной ячейки. В зависимости от типа решетки и симметрии структуры верхний предел суммы может уменьшаться вдвое, вчетверо и т.д.
Преобразование формул при наличии элементов симметрии
Наличие элементов симметрии не только сокращает количество членов суммы ряда
.
(1)
В тригонометрической форме, выделив действительную и мнимую части, формулу (1) можно записать:
,
(2)
где
,
.
Рассмотрим несколько случаев.
Структура центросимметричная.
При наличии в структуре центра инверсии начало координат удобно совмещать с центром инверсии. В этом случае в формуле (2) останется только вещественная часть – косинусные члены суммы:
. (3)
Возможны только
два варианта начальной фазы для любого
дифрагированного луча: 0 или
.
Соответственно величина
может принимать два варианта значений:
>0
при 0
и <0 при .
2. В кристалле имеется поворотная ось второго порядка, совпадающая с осью ячейки
Если в кристалле
имеется поворотная ось второго порядка,
совпадающая с осью
ячейки, то атомы с координатами
и
объединяясь попарно дают:
.
Следовательно, формула структурной амплитуды будет иметь вид:
(4)
или в тригонометрической форме
. (5)
3. В кристалле есть плоскость симметрии , перпендикулярная оси и проходящая через начало координат.
В этом случае
попарно объединяются атомы, расположенные
в точках
и
.Преобразование
следующее:
В этом случае формула структурной амплитуды преобразуется к виду:
. (6)
4. В кристалле присутствуют оси высшего порядка, винтовые оси и плоскости скользящего отражения.
Несколько сложнее
преобразование формул в присутствии
осей высшего порядка, а также при наличии
винтовых осей и плоскостей скользящего
отражения. Например, плоскость скользящего
отражения
,
проходящая по координатной плоскости
,
связывает атомы с координатами
и
.
Соответственно этому объединяются
члены
Получим
. (7)
Формулы, отвечающие
винтовым осям и плоскостям скользящего
отражения, содержат в себе и правила
погасаний, характеризующие соответствующие
элементы симметрии. Так формула (7)
приводит к условию
при
,
характеризующему присутствие плоскостей
скользящего отражения. Действительно,
положив
,
получим величину, обращающуюся в 0 при
нечетных
:
(8)
Комбинация элементов симметрии приводит к дальнейшим видоизменениям формул.
Каждая пространственная группа симметрии характеризуется своей преобразованной формулой, которая и служит исходным пунктом при практических расчетах структурных амплитуд. Соответствующие данные приводятся в справочниках по рентгеноструктурному анализу или в специальных таблицах для рентгеновской кристаллографии.
Обычно предполагается, что формула приведена к виду:
(9)
И в справочнике
даются лишь выражения
и
вещественной и мнимой части
тригонометрических множителей при
атомных амплитудах.
Результаты монокристальных исследований являются основой для определения координат атомов.