Р исунок 1. Дифракция рентгеновских лучей в кристалле

Разность хода из рис.1 равна .

Следовательно, при отражении должно выполняться условие

. (1)

Одна и та же серия узловых плоскостей может дать несколько отражений, т.к. при изменении угла условие (1) может выполняться при других (тоже целочисленных) значениях . При рассмотрении всей этой совокупности отражений (рефлексов) можно говорить о первом, втором и последующих порядках отражений.

В структурном анализе обычно применяется несколько иной прием. Формула (1) записывается в виде

, (2)

где имеет тот же смысл, что и в формуле (1), но в данном случае можно считать, что отражения относятся к разным плоскостям, т.е. каждое отражение можно сопоставить со «своей» кристаллографической плоскостью. Если для первого порядка отражений плоскость имеет индексы , то для -го они равны .

Уравнение (1) – уравнение Вульфа-Брэггов.

Для уточнения физического смысла вектора выполним следующее построение, предложенное Эвальдом и носящее его имя. Построение Эвальда позволяет определить направление дифрагированного луча, если на произвольно, го определенным образом ориентированный кристалл, направить пучок Х-лучей с длиной волны .

Вокруг образца проведем сферу радиусом , сферу Эвальда (рис.2).

Направим первичный луч вдоль МО. Если ввести единичный вектор , то является вектором падающего луча. Нас интересует луч, рассеянный в произвольном направлении, которое определено радиусом-вектором ( - единичный вектор направления рассеяния). Конец вектора считаем началом обратной решетки кристалла, которая может поворачиваться вокруг при неподвижной сфере Эвальда. На сферу Эвальда при этом могут попадать узлы обратной решетки.

Если мы действительно обнаружим рефлекс в направлении ОВ, значит угол АОВ равен . Следовательно, АВ является нормалью к узловой плоскости, от которой получено отражение (след этой плоскости на рис.2 обозначен линией ОС).

И

з АОВ следует , т.е. , _┴ , значит вектор есть вектор обратной решетки отражающей плоскости и одновременно это искомый вектор . Следовательно, если плоскость находится в отражающем положении, то ее узел обратного пространства находится на сфере Эвальда. Справедливо и обратное утверждение: если узел плоскости не находится на сфере Эвальда, то рефлекса от нее на рентгенограмме не получится.

Для возникновения отраженного пучка необходимо чтобы точка В совпала с узлом обратной решетки. Дифрагированные лучи возникают, когда узлы обратной решетки оказываются на сфере Эвальда. Направление лучей определяется векторами, соединяющими центр сферы с узлами на ее поверхности.

Если кристалл находится в случайном положении, то на поверхности сферы Эвальда может не оказаться узлов обратной решетки и отражений не будет.

Уравнение

(3)

может быть использовано для любых объектов, в том числе и для кристаллических. Для кристаллов

, (4)

где - параметры элементарной ячейки в обратном пространстве, - индексы Миллера (координаты узла в обратном пространстве);

, где - параметры элементарной ячейки кристалла, - относительные координаты (атома). Учитывая зависимость между и получим

. (5)

т.е. для кристалла (правильнее – для одной элементарной ячейки)

(6)

Величина называется структурной амплитудой, она строго связана с определенной узловой плоскостью, так как определяется теми же индексами . Для каждого кристалла существует свой набор . Если все эти амплитуды изобразить в соответствующей системе координат, то совокупность этих точек и определит обратную решетку данного кристалла. Каждый узел обратного пространства описывается не только тремя координатами (в единицах ), но и «весовым» множителем . Чем больше значение у точки, вышедшей на сферу Эвальда, тем сильнее будет соответствующий ей рефлекс. Тем выше будет его интенсивность.

Для идеального кристалла обратное пространство сконцентрировано в его узлах. Плотность пространства в любой точке вне узла равна нулю. Если эти не узловые точки находятся на сфере Эвальда, то и рассеяния нет.

Для аморфных объектов в обратном пространстве наблюдаются «ненулевые» значения «плотности» этого пространства в любой точке.

Т.е.для кристаллов обратное пространство прерывисто (дискретно, дисконтинуально) , для аморфных веществ – непрерывно (континуально).

Рассеяние Х-лучей идет по направлениям радиусов-векторов сферы Эвальда для точек обратного пространства с ненулевой «плотностью». Следовательно рентгенограмма неподвижных монокристаллов – совокупность точек. От аморфных объектов наблюдается непрерывное (не обязательно равномерное) изменение интенсивности по всем углам рассеяния.

Выражение (6) может быть представлено в тригонометрической форме

(7)

Интенсивность дифрагированного луча пропорциональна квадрату его амплитуды, т.е. квадрату модуля

(8)

зависит от выбранного начала координат (ячейки кристалла), так как в это выражение входят координаты атомов , а модуль от них не зависит. Можно записать

. (9)

В выражение (9) входят только взаимные расстояния между атомами.

__________________________________________________________________

Каждое семейство параллельных сеток (плоскостей решетки) определяет дискретную совокупность направлений селективных отражений. Для удобства рассмотрения дифракционных картин т взаимосвязи их со структурой изучаемых кристаллов наличие теории, связывающей в простой форме направления селективных отражений и кристаллографические направления. Такая теория создана Лауэ и Эвальдом, она основана на чисто геометрическом понятии «обратной решетки».

Построение обратной решетки

Из произвольной точки проводятся три вектора . Вектор

параллелен семейству плоскостей параллельных векторам кристаллической решетки. Длина вектора равна (обратно межплоскостному расстоянию этого семейства плоскостей). Для векторов кристаллической решетки и обратной решетки должны выполняться условия: скалярные произведения:

(1)

Любой вектор перпендикулярен к плоскости кристаллической решетки , а его длина обратна величине .

Соответствие между двумя решетками, их взаимосвязь не зависит от выбранной элементарной ячейки.

Если построить решетку, обратную обратной решетке, то получится исходная (прямая) решетка. Равенства (1) запишутся в виде:

,

т.е. вектор получается из обратной решетки так же как из решетки прямой. Зависимость объемов также симметрична. Узлы обратной решетки, индексы которых не являются взаимно простыми числами , соответствуют семействам плоскостей, параллельных плоскости , но с межплоскостными расстояниями в раз меньше, чем .