17.Переход к нехудшему опорному плану
(a- альфа, В – бета, ∆ – дельта)
Сист. Осн-х огран-й имеет вид:
Хi +ZaijXj=Bi, i=1,m
Тогда нач. опорный план:
Xo=(B1, B2, … Bm, 0, … 0) ; ∆0= F(X0 )
Если∆≥ 0 , то Х0–оптим-й
Еслиестьj0 , ∆j<0, то Аj0 – разреш-й столбец,Хj0- перспект.Перем-я,Xi0 – неперсп.Перем.,ai0j0– разреш-ий эл-т.Увеличиваем знач ЦФ. Находим
Наим-ее симпл-ое отнош-е:Qj0= min(Bi/ 2ij0) = Bi0 / 2i0j0 = Xj0.
Xj0 введем в базис, Xi0 неперспективн,поэт выведем из базиса.
F(X1) = ∆0 – ∆j0Q=>F(X1) >F(Xo)
18. Правила пересчёта
2 прав.: оставшиеся эл-ты разреш-щей строки дел-ся на разреш. Эл-т.
B”i0 =Bi0 /a(i0j0 ); a”(i0j)=a(i0j )/a(i0j0),j=m+1,n, j≠j0
3 прав.: оставш-ся эл-ты разреш-го столбца делим на разр. Эл-т и меняем знак на противоп-й.∆”j0=-∆j0/ ai0j0, a”ij0=-aij0/ ai0j0,i=1,m, i≠i0
4 прав.: все ост-ся эл-ты рассч-ся по правилу прямоуг-ка.
B”i= Bi- Bi0*aij0/ai0j0, ∆”0=∆0- ∆j0*Bi0/ai0jo, ∆”j=∆j-∆j0*ai0j/ai0jo, a”ij= aij- ai0j*aij0/ ai0jo,
I=1,m; j=m+1,n; i≠i0,j≠j0
19.Призн.бескон-ти множ-ва оптим.планов.Геом.интрпрет.
Теор:Если идек-й строкепосл симплек табл сод-щий опт план имеется хотя бы 1 нулевая оценка соот-я СП,то задача ЛП имеет бескон-е мн-во опт-х планов.
Док-во: пусть в оптим плане∆j0=0,где j0принадл множеству индекс СП,а min симплекс отнош соответст строке i0.введя xj0 в базис,получ:
∆”0=∆0- B*i0∆j0/ ai0jo=∆0- B*i0*0/ ai0jo=∆0.знач ЦФ не изменилось.Если 0-ых небаз. Оценок в послед симплекс табл несколько,то,введя кажд из соотв. Перемен в базис, найдём оптим планы X1*,X2*….XK*,для кот знач ЦФ будет одинаков.F(X1*)=F(X2*)=….=F(XK*).Согл 2-ой части осн теоремы ЛП в этом случ решение примет вид X0=λ1X1*+λ2X2*+….. +λkXk*,λ1 +λ2+…+λk=1,λi>0,i=1,k
След-е:Если в индекс-й строке симпл-ой табл сод-я опти-й план все оценки СП полож-ны, то найд-й оптим-й план единст-й
20.Призн.Неогр-ти цф на множ-ве планов.Геом.Интрепр.
Теор:Если в индеек-й строке симплек-й табл задачи ЛП на max содер-я отриц оценки,а в соот-ем столбце нет ниодного полож-о эл-та,то ЦФ на мн-ве допуст-х планов задачи неогран-на сверху.
Док-во: пусть∆j0=0,тогда можно увелич знач ЦФ.Полагая что все xj=0,кроме xj0,получ xi=Bi- aijoxj0,i=1,m.Т.к. xi≥0,то Bi-aijoxj0≥0,i=1,m.Пустьaijo≤0,тогда прилюбомxj0≥0 имеет xi≥0. Тогда вычислF=∆0-(∆m+1xm+1+…+∆j0xj0+…+∆nxn).Т.к.∆j0<0,приxj0=бесконечностиимеемF= ∆0-∆j0xj0=бесконечности,т е ЦФ не огранич сверху.
Теор: Если в индеек-й строке симплек-й табл задачи ЛП на min содер-я полож-е оценки,а в соот-ем столбце нет ниодного полож-о эл-та,то ЦФ на мн-ве допуст-х планов задачи неогран-на снизу.
21Прямая и двойственная задача
Рассмотрим задачу вида:
Max F=c1x 1+c2x2+…+cnxn
a
11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1
ak1x1+ak2x2+…+aknxn≤bk
ak+1,1x1+ak+1,2x2+…+ak+1,nxn=bk+1
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
xj≥0, j=1,l; xj-произвольные, j=l+1,n
Двойственной по отношению к исходной(прямой) задаче наз. задача вида:
minϕ=b1y1+b2y2+…+bmyn
a
11y1+a21y2+…+am1ym≥c1
a1ly1+a2ly2+…+amlym≥cl
a1,l+1y1+a2,l+1y2+…+am,l+1ym=cl+1
a1ny1+a2ny2+…+amnym=cn
yi≥0, i=1,k; yi-произвольные, i=k+1,m
Сравнивая 2 задачи видно, чтодвойственная задача составляется по след.правилам:
1)если у прямой задачи ЦФ на max ,то в дв-ной на min и наоборот.
2)коэф-ми при неизвестных ЦФ дв-ной задачи явл-ся свободные члены прямой задачи, а правыми частями в осн-х ограничениях дв-ной задачи явл-сякоэф-ты при неизвестных ЦФ прямой задачи.
3)матрица, составленная из коэф-товосн-х ограничений прямой задачи и аналогичная матрица дв-ной задачи получаются друг из друга транспонированной.
4)число переменных прямой задачи равно числу ограничений дв-ной задачи и наоборот.
5)если переменная xj прямой задачи принимает только неотрицательные значения, то j-ое ограничение в системе осн-х ограничений дв-ной задачи явл-ся неравенством ≥. Если же xj прямой задачи может принимать любые значения, то j-ое ограничение в системе осн-х ограничений дв-ной задачи явл-ся уравнением. Если i-оеогран.-е в сис.-меосн. огран.-й прямой задачи явл. неравенством, то i-ая переменная дв.-ой задачи yi≥0. Если же i-оеогран.-е-уравнение, то переменная yiм.б. как положительной, так и отрицательной.