1. Гравитация или тяготение. Сила гравитационного взаимодействия – одна из фундаментальных сил.

Закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения прямо пропорциональные произведению масс и этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния r между ними: , здесь – гравитационная постоянная. Силы тяготения направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки.

Закон всемирного тяготения справедлив для материальных точек и тел сферической формы (тогда - это расстояние между центрами тел сферической формы).

Проявлением силы гравитационного взаимодействия является сила тяжести, действующая на тело массой в поле тяготения любой планеты массой : . Здесь R - радиус планеты, h - высота над её поверхностью. Обычно силу тяжести выражают через ускорение свободного падения и тогда .

На поверхности любой планеты . В частности, на поверхности Земли .

2. Упругая сила возникает тогда, когда возникает деформация. Деформацией твердого тела называется изменение его размеров и объема, сопровождающееся чаще всего изменением формы тела. Упругой называется деформация, которая исчезает после прекращения действия вызывающей ее силы. В случае упругой деформации, согласно закону Гука: , где - величина абсолютной деформации.

3. Вес тела – это сила, с которой тело под влиянием тяготения действует на опору или подвес. Вес тела зависит от величины ускорения, с которым движется опора или подвес. Вес по величине равен либо силе реакции опоры (если тело находится на опоре), либо силе упругости подвеса (если тело подвешено).

4. Силы трения – это касательные силы между соприкасающимися телами. Сила трения скольжения (сухое трение) возникает при скольжении данного тела по поверхности другого тела: , где - коэффициент трения скольжения, - сила нормальной реакции опоры.

Сила трения направлена в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого.

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении в газе или жидкости (вязкое трение): , где - коэффициент, характеризующий данную среду, - скорость тела относительно среды. При больших скоростях эта сила оказывается пропорциональной квадрату скорости .

§ 1.4. Динамика вращательного движения твёрдого тела

Моментом силы относительно неподвижной точки О, называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора точки приложения силы , на силу .

Момент силы относительно неподвижной точки О – это вектор, направление которого определяется по правилу правого винта. Для этого радиус-вектор перенесем из точки О в точку приложения силы. Через векторы и можно провести плоскость. Вектор лежит в плоскости ей перпендикулярной. Для нахождения его направления необходимо зрительно поместить правый винт в точку приложения силы и начать его вращать от к по наименьшему углу. То направление, в котором будет поступательно двигаться правый винт, и есть направление вектора момента силы относительно точки О.

В ектор направлен перпендикулярно плоскости, образованной векторами и . Следовательно, и . Модуль момента силы: , где - угол между векторами и , d - плечо силы. Плечо силы d – это кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы .

В СИ момент силы измеряется в ньютонах умноженных на метр (Н м).

Моментом силы относительно некоторой оси , проходящей через точку О, называется проекция на эту ось вектора момента силы относительно точки О.

М оментом импульса (моментом количества движения) материальной точки m относительно точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора материальной точки на её импульс: .

Направление вектора момента импульса относительно неподвижной точки О определяется так же, как и для момента силы. Модуль момента импульса: где – угол между векторами и .

Момент импульса материальной точки m относительно оси , проходящей через точку О – это проекция на эту ось вектора момента импульса относительно точки О.

Момент импульса системы материальных точек (твердого тела) относительно неподвижной точки О равен геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы: .

Р ассмотрим твердое тело, которое может вращаться относительно некоторой неподвижной точки О. Для каждой материальной точки твердого тела запишем уравнение второго закона Ньютона:

Умножим векторно левую и правую части каждого уравнения системы на радиус – вектор соответствующей материальной точки, тогда для произвольной i-ой точки уравнение примет вид: . Сложив все эти уравнения, в левой части равенства получим: , где – момент импульса твердого тела относительно точки О.

В правой части равенства будет сумма моментов всех внутренних и внешних сил относительно точки О. Но сумма моментов внутренних сил будет равна нулю, т.к внутренние силы всегда попарно равны и противоположны по направлению, следовательно моменты этих сил относительно точки О равны и противоположны по направлению. Таким образом, в правой части равенства остается только сумма моментов внешних сил: .

Основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки: скорость изменения момента импульса системы материальных точек относительно неподвижной точки равна сумме моментов относительно этой точки всех внешних сил, действующих на тело: .

Основной закон динамики для тела, вращающегося относительно неподвижной оси : скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна сумме моментов внешних сил, действующих на тело, относительно той же оси .

В случае вращения вокруг неподвижной оси, момент импульса тела можно выразить через угловую скорость вращения. Момент импульса материальной точки относительно оси . Здесь - расстояние точки до оси .

Так как тело твердое, то расстояние от каждого элемента тела до оси вращения все время остается неизменным и линейная скорость элемента перпендикулярна радиус – вектору , проведенному к этому элементу , причем . При этом угловая скорость – одинакова для всех точек твердого тела, следовательно: .

Момент импульса всего тела относительно оси : Введем обозначение . Величину I назовем моментом инерции системы материальных точек (твердого тела) относительно выбранной оси. Момент инерции тела зависит как от величины массы, так и от распределения массы тела относительно оси.

В СИ единицей измерения момента инерции является килограмм, умноженный на метр в квадрате ( ) .

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси: . Тогда для твердого тела: .

Основной закон динамики для тела, вращающегося относительно неподвижной оси: .

Д ля вычисления момента инерции твердого тела нужно разбить тело на бесконечно малые элементы и проинтегрировать .

Найдем момент инерции однородного цилиндра (диска) относительно его геометрической оси. Пусть – радиус цилиндра, – плотность вещества, из которого изготовлен цилиндр, – его высота.

Разобьем рассматриваемый цилиндр на полые цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r (элементарные). Расстояние всех точек таких цилиндров до оси будем считать одинаковым и равным r. Поэтому момент инерции каждого такого цилиндра: . . .

Для всего цилиндра

....

.

.

М

оменты инерции:

• полого цилиндра массой m и радиусом R - ;

• шара массой m и радиусом R - ;

• стержня массой m и длиной (относительно оси, проходящей через его конец) - .

Т еорема о переносе осей инерции (Штейнера). Момент инерции тела относительно любой оси равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр инерции тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями . Здесь - момент инерции тела относительно оси ZZ^|, - момент инерции тела относительно оси OO^|, проходящей через центр инерции (точку С), d – расстояние между осью OO^| и осью ZZ^|, ей параллельной.

Для замкнутой системы момент внешних сил всегда равен нулю, так как по определению, замкнутой называется система, на которую не действуют внешние силы, либо их действие скомпенсировано. Поэтому из основного закона динамики вращательного движения вытекает закон, называемый законом сохранения момента импульса. Момент импульса замкнутой системы относительно неподвижной точки О не изменяется с течением времени: .

Этот закон также справедлив и для момента импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной оси ZZ^|: . Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной оси ZZ^| всегда остается постоянным.

Если система незамкнута, но момент всех внешних сил, действующих на систему, относительно какой-либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этой оси не изменяется с течением времени. Например если сумма моментов внешних сил относительно оси Z равна нулю, то: . В частности для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ZZ^|: , если .