1.7.12. Объем тела вращения.

Вычисление объема тела сводится также к вычислению определенного интеграла. Пусть рассматриваемое тело Е получается от вращения данной криволинейной трапеции y=f(x), заданной на сегменте [a,b], вокруг оси Ох. Обозначим через V объем данного тела. Разобьем тело поперечными сечениями, перпендикулярными к оси Ох, начиная от х=а и кончая х=b.

Очевидно поперечные сечения - круги радиуса у. Рассмотрим один из элементов Е, образованный сечениями с абсциссами х и х+х. Будем считать, что х достаточно мало и заменим объем тела Е объемом прямого цилиндра, высота которого х, а площадь ос-

нованияS(x)=f²(x) и, следовательно, для объема V тела получим приближенное значение (суммирование берется по всем элементам, на которые наше тело разбито поперечными сечениями). При переходе к пределу, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из х0, написанная сумма превращается в определенный интеграл, который дает точное значение объема V,

.

Итак, приходим к следующей теореме.

Теорема. Объем тела, получаемого при вращении вокруг оси Ох кривой y=f(x), заключенный между ординатами х=а и х=b, выражается формулой

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу фигуры, ограниченной ветвью параболы и отрезком 1у4 оси ординат.

Рис.1 Рис.2

1. Вычислим объем V тела образованного вращением параболы вокруг оси Ох. (см. рис.1) Так как , то y=x2 . 2. Если V1 - объем тела, образованного вращением параболы вокруг оси Оу, то (см. рис.2) .

217