- •1.7. Определенный интеграл и его геометрические приложения Для замечаний
- •1.7. Определенный интеграл и его геометрические приложения
- •1.7.1. Интегрируемость функции на сегменте.
- •1.7.2. Верхние и нижние суммы Дарбу и их свойства.
- •1.7.3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте.
- •1.7.4. Равномерная непрерывность функции на множестве.
- •1.7.5. Основные свойства определенного интеграла.
- •1.7.6. Первая и вторая формулы среднего значения.
- •1.7.7. Интеграл с переменным верхним пределом.
- •1.7.8. Основная формула интегрального исчисления или формула Ньютона-Лейбница.
- •1.7.9. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •1.7.10. Спрямляемость и длина дуги плоской кривой.
- •1.7.10.1. Вычисление длины дуги плоской кривой при различных способах ее задания.
- •1.7.11. Квадрируемость и площадь плоской фигуры.
- •1.7.12. Объем тела вращения.
1.7.3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте.
Вышеперечисленные свойства верхних и нижних сумм позволяют доказать теорему об интегрируемости функции на сегменте.
Теорема. Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого
S - s .
Не будем приводить доказательство этой теоремы, отметим лишь, что из неравенства S - s следует равенство = = I, что в силу замечания 2 гарантирует существование предела интегральных сумм , равного I.
Определение. Число i = Mi - mi , где Mi и mi - точные верхняя и нижняя грани функции f(x) на [xi-1,xi] называются колебанием функции f(x) на сегменте [xi-1,xi]. Очевидно, что i ≥ 0, ибо Mi mi .
После введенного определения колебания функции f(x) разность
(так как все i 0 и хi >0) и последнюю теорему можно сформулировать так:
Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируема на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для нашлось такое разбиение Т сегмента, для которого
.
1.7.4. Равномерная непрерывность функции на множестве.
Пусть функция f(x) (непрерывна на множестве ; - множество замкнуто или нет, конечно или бесконечно), т.е. она непрерывна в каждой точке этого промежутка х0 . Это означает, что
|
Отметим, что для фиксированного число зависит не только от , но и от точки х0. Существует ли при заданном такое , которое годилось бы для всех точек х0 из этого промежутка? |
Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на , если для можно указать такое положительное число (=()), зависящее только от , что для любых двух точек и множества , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
.
Пример 1. y=lnx равномерно непрерывна на полупрямой x 1. В самом деле, по теореме Лагранжа для любых (пусть для определенности < ).
, ибо << и >1
Следовательно, по данному >0, если выбрать 0< , то из
Пример 2. Функция f(x)= на интервале (0,1) непрерывна, но не является на нем равномерно непрерывной, т.е. для некоторого >0 нельзя выбрать >0 такое, что неравенство будет выполнено для всех и при условии, что .
Покажем это. Пусть >0, = , = , тогда , а величина может быть сделана сколь угодно большой.
Для непрерывной на сегменте функции справедлива следующая теорема.
Теорема (Кантора). Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) равномерно непрерывна на этом сегменте.
Теперь, с очевидностью, вытекает следствие: пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда такое, что на каждом, принадлежащем сегменту [a,b] частичном сегменте [c,d], длина d-c которого меньше , колебание функции f(x) меньше . Сформулируем и докажем следующую основную теорему.
Теорема. Непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.
Пусть дано . Так как f(x) равномерно непрерывна на сегменте [a,b] (теорема Кантора), то для положительного числа можно указать такое >0, что при разбиении Т сегмента [a,b] на частичные сегменты [xi-1,xi], длина максимального из которых <, колебание i функции f(x) на каждом из них меньше (следствие из теоремы Кантора). Тогда для таких разбиений Т и выполняется достаточное условие интегрируемости функции f(x).
Замечание. Если f(x) имеет на [a,b] конечное число точек разрыва 1-го рода, то функция f(x) также интегрируема на этом сегменте. При этом, если, например, f(x) разрывна в одной точке x=c, то , и значение этих интегралов не зависит от значения функции в точке с.