- •1.1. Векторная алгебра Для замечаний
- •1.1.4. Уравнение линии на плоскости
- •1.1.4.1.Параметрическое представление линии
- •1.1.4.2.Уравнение линии в полярных координатах
- •1.1.4.3. Пересечение двух линий
- •1.1.4.4. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве
- •1.1.5. Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •1.1.5.1. Общее уравнение прямой
- •1.1.5.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •1.1.5.3. Уравнение прямой в отрезках
- •1.1.5.4. Каноническое уравнение прямой
- •1.1.5.5. Параметрические уравнения прямой
- •1.1.5.6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •1.1.5.7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой
- •1.1.5.8. Приведение общего уравнения прямой к нормированному виду
1.1.4.4. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве
Пусть нам заданы декартова прямоугольная система координат Oxyz и некоторая поверхность S.
Определение 1. Уравнение
называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x, y, z любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты x, y, z ни одной точки, не лежащей на поверхности S.
Пример. Уравнение сферы радиуса R>0 с центром в точке в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz имеет вид
.
Действительно, точка лежит на указанной сфере тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между точками
.
Определение 2. Линия в пространстве есть геометрическое место точек, лежащих одновременно на двух поверхностях.
Таким образом линия в пространстве рассматривается как линия пересечения двух поверхностей.
Если - уравнения двух поверхностей, пересечением которых является данная линия L, то два уравнения
совместно определяют линию L.
Как и в случае плоской линии (п.2) можно линию в пространстве представить параметрически, задав координаты x, y, z любой точки данной линии как непрерывные функции некоторого параметра t :
,
определенные в некотором промежутке изменения параметра .
Для отыскания точек пересечения поверхностей и линий следует решить совместно уравнения, определяющие указанные линии и поверхности.
1.1.5. Различные виды уравнений прямой на плоскости
1.1.5.1. Общее уравнение прямой
Уравнение
Ax+By+C=0 (6.1)
с произвольными коэффициентами A, B и C такими, что A и B не равны одновременно нулю, называется общим уравнением прямой L.
Уравнение (6.1) имеет хотя бы одно решение , т.е. существует точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (6.1):
(6.2)
Вычитая из уравнения (6.1) тождество (6.2), получаем уравнение
, (6.3)
эквивалентное уравнению (6.1).
Если точка лежит на прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (6.3), векторы , перпендикулярный к прямой L и перпендикулярны и их скалярное произведение
равно нулю. Если же точка не лежит на прямой L , то ее координаты не удовлетворяют уравнению (6.3).
Итак, уравнение (6.3) определяет прямую L, проходящую через точку и перпендикулярную вектору . Этот вектор будем называть нормальным вектором прямой (6.1).
Замечание. Если два уравнения определяют одну и ту же прямую, то существует такое вещественное число t, что справедливы равенства .
1.1.5.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
|
Пусть прямая не параллельна оси Ox, тогда в уравнении (6.1) коэффициент . Углом наклона этой прямой к оси Ox назовем угол , образованный прямой с положительным направлением оси Ox.
|
Если прямая параллельна оси Ox, то угол наклона будем считать равным нулю.
Угловым коэффициентом прямой назовем тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox, .
Для прямой, параллельной оси Ox, угловой коэффициент равен 0, а для прямой, перпендикулярной оси Ox, угловой коэффициент не существует .
Из уравнения (6.3) и того, что - нормальный вектор прямой следует, что .
Отсюда получим уравнение прямой с угловым коэффициентом в виде . Если обозначить , то последнее уравнение примет вид
(6.4)
Это уравнение и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Здесь k- угловой коэффициент данной прямой, а b - отрезок, отсекаемый данной прямой на оси Oy, начиная от начала координат (при ).