Перестановки с повторениями

Переставляя буквы слова «ток», получим 6 различных перестановок:

ток тко отк окт кто кот

А если вместо слова «ток» взять слово «тот», то во всех выписанных перестановках надо будет заменить «к» на «т»

тот тто отт отт тто тот

При этом некоторые из наших перестановок окажутся одинаковыми и в итоге мы получим всего 3 различных перестановок.

О бщая задача формулируется следующим образом: имеются предметы различных типов. Сколько перестановок можно сделать из элементов первого типа, элементов второго типа, . . . , элементов -го типа?

Число элементов в каждой перестановке равно . Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы !. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В самом деле, возьмём, например, перестановку

в которой сначала выписаны все элементы первого типа, потом второго, . . . , наконец, -го типа. Элементы первого типа можно переставлять друг с другом ! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно так же ничего не меняют ! перестановок элементов второго типа и т.д. Поэтому множество всех ! перестановок распадается на части, состоящие из ! ! . . . ! одинаковых перестановок каждая. Значит, число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, равно

(

Пример 9. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Р е ш е н и е. Здесь у нас одна буква «м», четыре буквы «и», три буквы «с» и одна буква «п», а всего 9 букв. Следовательно, .

Пример 10. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «огород» так, чтобы три буквы «о» не стояли бы рядом?

Сочетания с повторениями

Рассмотрим задачу. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоёные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Эта задача не является задачей на размещения с повторениями, так как порядок, в котором укладывают пирожные в коробку, несуществен. Задача ближе к задачам на сочетания. Но она отличается тем, что в комбинации могут входить повторяющиеся элементы, например, можно купить 7 эклеров. Такие задачи называют задачами на сочетания с повторениями.

Чтобы решить эту задачу, поступим следующим образом. Зашифруем каждую покупку с помощью нулей и единиц. Именно, сначала напишем столько единиц, сколько куплено наполеонов. Потом, чтобы отделить наполеоны от эклеров, напишем нуль, а затем – столько единиц, сколько куплено эклеров. Далее снова напишем нуль. Если не было куплено ни одного эклера, то в записи появятся два следующих друг за другом нуля. Далее напишем столько единиц, сколько куплено песочных пирожных, снова напишем нуль, и наконец, напишем столько единиц, сколько куплено слоёных пирожных. Например, если куплено 3 наполеона, 1 эклер, 2 песочных пирожных и 1 слоёное, то получим такую запись: 1110101101. Если же куплено 2 наполеона и 5 песочных, то получится запись: 1100111110.

Таким образом, число различных покупок равно числу перестановок с повторениями, которые можно составить из 7 единиц и 3 нулей. В результате получим:

.

Общая формулировка таких задач такова: имеются предметы различных типов. Сколько -комбинаций можно сделать из них, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации?

Эта задача в общем виде решается точно так же, как и задача и пирожных. Именно, надо зашифровать каждую комбинацию с помощью нулей и единиц: для каждого типа написать столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделять друг от друга нулями, при этом ели предметы какого-нибудь типа совсем не вошли в комбинацию, то надо писать подряд два или большее число нулей. При этом мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, т.е. , а число нулей будет на 1 меньше, чем число типов предметов, т.е. . Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из единиц и нулей.

Число сочетаний с повторениями из элементов типов обозначается и равно числу перестановок с повторениями из нулей и единиц. Таким образом:

.

Заметим, что .

Пример 11. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Р е ш е н и е. В первом случае в покупке могут быть открытки одного и того же сорта и, так как порядок покупки не играет роли, то . Во втором случае открытки одного и того же сорта быть не могут, поэтому .

Пример 12. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоёные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Пример 13. Сколькими способами можно разделить 40 яблок между 4 мальчиками так, чтобы каждый получил по крайней мере 3 яблока (все яблоки считаются одинаковыми)?