Численное решение уравнений с помощью программы MathCad.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Получение навыков численного решения линейных и нелинейных уравнений и систем. Получение навыков решения дифференциальных уравнений с использованием встроенных функций MathCAD.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЯСНЕНИЯ

Решение систем линейных уравнений

Известно, что система линейных уравнений в матричной форме A*X=B.

Вектор решения получается из X=A-1*B.

Решить систему линейных уравнений:

Для решения данной системы необходимо составить матрицу коэффициентов системы (например назовём её А) и матрицу свободных членов (например В):

Ввод матрицы осуществляется через сочетание клавиш Ctrl+M или кнопка на панели матрица, в появившемся окне указываете размерность матрицы.

После этого вводим выражение для расчёта и получаем матрицу решений:

Для решения систем линейных уравнений в MathCAD существует встроенная функция lsolve(A,B), которая возвращает вектор X для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов и векторе свободных членов.

Применение функции проиллюстрировано ниже:

Численное решение нелинейных уравнений

Многие уравнения не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с заданной погрешностью. Для простейших уравнений вида F(x)=0 решение находится с помощью функции root(expr,var). Эта функция определяет значение переменной var, с указанным уровнем, при котором выражение expr равно нулю (в пределах точности TOL)¹. Функция реализует вычисления итерационным методом, причем можно задать начальное значение переменной. Это особенно полезно, если возможно несколько решений.

Функция polyroots(v) определяет корни многочлена степени n, коэффициенты которого находятся в векторе v длинной n+1.

Многие уравнения, например трансцендентные, не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с заданной погрешностью.

При решении систем нелинейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом – директивой Given – и имеющий следующую структуру:

Given

Уравнения

Ограничительные условия

Выражения с функциями find и minerr

Между функциями find и minerr существуют принципиальные различия. Первая функция используется, когда решение реально существует. Вторая функция пытается найти максимальное приближение даже к несуществующему решению путем минимизации среднеквадратичной погрешности решения.

find(v1,v2,…,vn) – возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения;

minerr(v1,v2,…,vn) – возвращает значение одной или ряда переменных для приближенного решения.

Выполнение работы

1. Решение систем линейных уравнений с помощью матричных вычислений.

Пусть необходимо решить следующую систему:

Вводим матрица значений А и матрицу результатов B. Решение системы произведение инвертированной матрицы А и матрицы B.

2. Решение систем линейных уравнений с помощью функции lsolve:

Пусть необходимо решить следующую систему:

Пример решения системы:

3. Решение нелинейных уравнений с использованием функции root.

Необходимо определить корни уравнения:

Пример решения уравнения:

Другой пример применения функции root:

Необходимо вычислить корни следующей функции:

Решение:

4. Решение нелинейных уравнений с использованием функции polyroots.

Для применения этой необходимо выписать аргументы,стоящие перед каждой неизвестной переменной.

Пример использования функции polyroots:

5. Решение уравнений и систем уравнений с помощью вычислительного блока Given-Find:

Пример решения нелинейного уравнения

Пример решения систем уравнений

Полезные приёмы при проведении расчётов в MathCad

1) Если при решении отдельных уравнений или систем, необходимо получить переменную с определённым именем, то можно использовать следующий приём:

2) Если необходимо получить решение отдельных уравнения или систем в символьном виде, то применяется оператор символьного решения , например при решении уравнения:

3) При слишком длинных расчётах, бывает удобно скрывать часть расчётов. Для этого в MathCad существует специальное поле, которое вставляется с помощью команды из главного меню добавить > область, после чего можно скрыть её через контекстное меню.