4.Вычисление переходной матрицы.

Теоретические основы

Переходная матрица позволяет записать решение линейной однородной стационарной системы в виде: При этом переходная матрица удовлетворяет своему дифференциальному уравнению : Для ЛСС переходная матрица представляет собой матричную экспоненту: .

В случае нестационарной системы . Переходная матрица записывается как матрицант матрицы A. Матрицант- квадратная матрица вида , где .

В данной лабораторно работе нас интересует нестационарная система. Поэтому более подробно рассмотрим процесс нахождения именно для неё. Формирование переходной матрицы можно совершить 2 способами:

1)Непосредственным суммированием ряда:

2)Основан на преобразовании Лапласа уравнения .

Получим:

Опыт

Вычисляем значение переходной матрицы, как К сожалению, Program CC не позволяет хранить такое большое кол-во данных, поэтому для выполнения части дейстивий пришлось перейти в пакет wolphram alfa.

F(s)=

Inv(F(s))=

И, обратно в CC, где ilt-ом вычисляем обратное преобразование Лапласа каждого элемента матрицы. Получаем:

Первая строка:

Φ(0,0)= -0,007019*sin(2,299t+0,3666)*exp(-1,153t) + 0,006784*exp(-4,66t)+ 0,9957*exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(0,1) = -0,2674*cos(2,299t-0,5298)*exp(-1,153t) + 0,01539*exp(-4,66t) + 0,2154 *exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(0,2)= = -0,05967*sin(2,299t+0,5023)*exp(-1,153t) + 0,04525*exp(-4,66t)- 0,01652*exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(0,3) = -0,09742*sin(2,299t-0,7157)*exp(-1,153t) - 0,06805*exp(-4,66t) + 0,004123*exp(-18,03t) for t >= 0

Вторая строка:

Φ(1,0)= 0,02984*sin(2,299t+0,5023)*exp(-1,153t) - 0,02263*exp(-4,66t) + 0,008262*exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(1,1)= 1,137*cos(2,299t-0,3942)*exp(-1,153t) - 0,05132*exp(-4,66t) + 0,001787 *exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(1,2)= 0,2537*sin(2,299t+0,6379)*exp(-1,153t) - 0,1509*exp(-4,66t)- 0,0001371*exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(1,3)= 0,4141*sin(2,299t-0,5801)*exp(-1,153t) + 0,2269*exp(-4,66t)+ 3,421e-05*exp(-18,03t) for t >= 0

Третья строка:

Φ(2,0)= -0,07675*sin(2,299t-0,6035)*exp(-1,153t) + 0,1054*exp(-4,66t) - 0,149*exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(2,1)= -2,924*sin(2,299t+0,07083)*exp(-1,153t) + 0,2391*exp(-4,66t) - 0,03223*exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(2,2)= -0,6525*sin(2,299t-0,4679)*exp(-1,153t) + 0,7033*exp(-4,66t) + 0,002473*exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(2,3)= 1,065*cos(2,299t-0,1151)*exp(-1,153t) - 1,058*exp(-4,66t) - 0,0006169 *exp(-18,03t) for t >= 0

Четвертая строка:

Φ(3,0)= -0,04871*sin(2,299t-0,7157)*exp(-1,153t) - 0,03402*exp(-4,66t)+ 0,002061*exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(3,1)= -1,856*sin(2,299t-0,04135)*exp(-1,153t) - 0,07717*exp(-4,66t) + 0,0004458*exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(3,2)= -0,4141*sin(2,299t-0,5801)*exp(-1,153t) - 0,2269*exp(-4,66t)- 3,421e-05*exp(-18,03t) for t >= 0

Φ(3,3)= 0,6761*cos(2,299t-0,2273)*exp(-1,153t) + 0,3413*exp(-4,66t) + 8,534e-06*exp(-18,03t) for t >= 0

5.Вычисление отклика системы.

Первоначально необходимо переопределить вектор начальных условий(у нас система вполне наблюдаемая)

Начальные условия заданы, как:

Уравнение состояний имеет вид:

Выходы:

Таким образом, начальное значение вектора состояний можно найти из системы:

Решая систему, получаем значение z(0):