Множества мощности континуума и выше

Другим важным примером бесконечного несчетного множества является множество вещественных чисел R. Дадим одно из возможных определений вещественного числа с помощью сечений Дедекинда.

Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два непустых подмножества А и В. Будем называть это разбиение сечением и обозначать А|В, если выполняются условия:

1⁰. Каждое рациональное число попадает в одно и только одно из множеств А или В.

2⁰. Для всех xA и yB имеет место соотношение y > x.

Назовем А нижним классом сечения, В - верхним классом.

Существуют сечения трех типов.

1. Сечение, у которого в нижнем классе нет максимального числа, а в верхнем классе есть минимальное число, назовем сечением первого типа.

2. Сечение, у которого в нижнем классе есть максимальный элемент, а в верхнем классе нет минимального число, назовем сечением второго типа.

3. Сечение, у которого в нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе - минимального, назовем сечением третьего типа.

Примеры сечений:

1) А ={ x | x<1 }; B ={ x | x1 } - сечение 1-го типа;

2) А ={ x | x1 }; B ={ x | x>1 } - сечение 2-го типа;

3) А ={ x | x³2 }; B ={ x | x³ >2 } - сечение 3-го типа.

Докажем что в третьем примере нижний класс не содержит максимальный элемент. Для этого покажем, что

 аA  n>0  : (a + 1/n)³ < 2.

Так как (a+1/n)³<a³ +(3a²+3a+1)/n, то достаточно выбрать такое n, чтобы n>3a²/(2-a³). Иными словами, какое бы рациональное а из A мы ни выбрали, в классе А всегда можно найти число больше его.

Аналогично можно доказать, что в этом примере в верхнем классе нет минимального элемента.

Сечения типа 1 и 2 определяют рациональное число r. Для сечения 1 типа это число - наименьшее в верхнем классе, для сечения 2 типа - наибольшее в нижнем классе. Сечение 3 типа не определяет никакого рационального числа, так как предположение противного противоречит определению сечения.

Будем говорить, что сечение 3-го типа определяет иррациональное число  , если для любых рациональных чисел xA и yB выполняется неравенство x<<y. Иррациональные числа - это множество чисел, каждое из которых определяется некоторым сечением 3-го типа. Множество действительных (вещественных) чисел – это множество рациональных и иррациональных чисел.

Для мощности множества вещественных чисел R есть специальное обозначение - с. Любое множество имеющее такую мощность называется континуумом (от английского continue - продолжаться).

Введение понятия мощность континуума порождает два вопроса.

1. Существует ли множество мощностью больше чем с?

2. Существует ли множество промежуточной мощности между счетным и континуумом?

На первый взгляд множеством мощности больше с является любая плоская фигура, например, квадрат. Однако, это не так и справедлива

ТЕОРЕМА. Единичный квадрат на плоскости имеет мощность равную с.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим отображение f точек квадрата на его сторону. Возьмем любую точку внутри квадрата с координатами (x,y). Пусть в десятичном представлении x=0,a₁a₂a₃..., а y=0,b₁b₂b₃... . Образуем число z=f(x,y)= =0,a₁b₁a₂b₂a₃b₃..., которое является координатой точки на стороне квадрата. Таким образом, мы отобразим точки квадрата на его сторону. Ясно что это отображение инъективно, т.е. если мы берем точки А=(x₁, y₁) и B=(x₂, y₂), такие, что АВ, и определим z_A=f(A), z_B=f(B), то получим z_Az_B, т.е. две разные точки A и B квадрата отображаются в две разные точки на отрезке прямой. Действительно, пусть АВ. Значит x₁x₂ или y₁y₂, а раз так то эти числа отличаются хотя бы одним десятичным знаком, и значит z_Az_B.

Инъективность означает, что точек в квадрате не больше, чем на отрезке. С другой стороны, их не может быть меньше, поскольку отрезок является подмножеством квадрата. Следовательно, построенное отображение f взаимно-однозначно.

Тем не менее множества мощности выше континуума существуют, более того, справедлива

ТЕОРЕМА. Для любого множества А существует множество В большей мощности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть имеется множество А. Рассмотрим множество В, являющееся множеством всех функций, определенных в точках множества А и равных 0 или 1 в этих точках. Покажем, что мощность множества В больше мощности А.

Рассмотрим на множестве А функцию из B, определенную по правилу

где aА. Поставим каждой точке аА в соответствие функция f_a(x)В, причем, это отображение является взаимно однозначным. Очевидно, что построенное множество функций не исчерпывает всех возможных функций из В и {f_a(x)}В, т.е. мы определили взаимно однозначное отображение всего А на часть множества В. Следовательно, мощность В не меньше мощности А.

Докажем, что мощность В не равна мощности А. Это эквивалентно тому, что не существует взаимно однозначного отображения А на все В. Предположим противное, что существует биективное отображение   : А  В, которое каждому аА ставит в соответствие элемент bВ и каждой функции из B - элемент множества A. Обозначим  (a) = f^(a)(x), и рассмотрим функцию

g(x) = 1 – f^(x)(x).

По свойствам элементов множества В имеем, что значение f^(x)(x) равно 0 или 1, тогда это свойство выполнено и для функции g(x). Следовательно, g(x)В. Значит, по предположению, существует такая точка bА, что ей однозначно соответствует g(x), т.е. g(x)=f^(b)(x). Возьмем х=b, тогда получим

1 – f^(b)(b) = f^(b)(b).

Отсюда f^(b)(b)=1/2, что противоречит условию принадлежности функции f^(b)(x) множеству В. Поэтому, такого отображения  не существует. Значит, мощность В строго больше мощности А.

Из теоремы следует, что множества самой большой мощности не существует.

Эквивалентный способ построения множества большей мощности получим, если определим B как множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества A. Тогда m(B)= 2^|A|.

Множество, мощность которого равна 2^c, называется множеством мощности гиперконтинуума.

Что касается проблемы существования множества промежуточной мощности, то оказалось, что это утверждение невозможно доказать на основе аксиом теории множеств, но оно и не противоречит им. Подробнее об этом можно прочитать в [1].