- •Федеральное агентство по образованию
- •“Воронежская государственная технологическая академия”
- •Ю .В. Бугаев, и.Ю. Шурупова
- •Операции над множествами
- •Лекция № 2 Отображения
- •Мощность множества
- •Лекция № 3 Свойства счетных множеств
- •Множества мощности континуума и выше
- •Лекция № 4 нечеткие множества
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •Операции над нечеткими множествами
- •Наглядное представление операций над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •Лекция № 5 Бинарные отношения и операции над ними
- •Свойства операций над отношениями
- •Способы задания бинарных отношений
- •Лекция № 6 Свойства бинарных отношений
- •Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •Лекция № 7 Слабый порядок
- •Разбиение и эквивалентность
- •Качественный порядок
- •Лекция № 8 Функция выбора. Основные понятия
- •Классификация функций выбора
- •Задача векторной оптимизации
- •Лекция № 9 комбинаторные конфигурации и их приложения
- •1. Основные задачи, обозначения и правила
- •2. Простейшие конфигурации
- •2.6. Свойства чисел сочетаний
- •3. Комбинаторные конфигурации в алгебре и анализе
- •Лекция № 10 Комбинаторные алгоритмы
- •Аналитический аппарат комбинаторики
- •1. Принцип включения и исключения
- •1.2. Модификации формулы включения и исключения
- •Лекция № 11 Рекуррентные соотношения
- •4. Производящие функции
- •4.3. Пример использования производящих функций
- •5. Связь производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями
- •Лекция № 12 теория грАфов Вводные понятия
- •1.1. Основные понятия теории графов
- •1.2. Машинное представление графа
- •Лекция № 13 Степени, маршруты, связность
- •2.1. Степени вершин графов
- •2.2. Маршруты и цепи
- •2.3. Связность
- •Лекция № 14 Алгоритмы обхода вершин в графах общего вида
- •Лекция № 15 Деревья Эквивалентные определения дерева
- •4.2. Остов
- •Лекция № 16 Специальные вершинные подмножества графа Определения вершинных подмножеств
- •5.2. Теоремы о вершинных подмножествах
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
“Воронежская государственная технологическая академия”
Кафедра информационных технологий,
моделирования и управления
Ю .В. Бугаев, и.Ю. Шурупова
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
‘”ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА”
Для студентов, обучающихся по направлениям
230400 –"Информационные системы и технологии",
230700 – "Прикладная информацика"
дневной и сокращенной формы обучения
Воронеж
ЛЕКЦИЯ № 1
Основные понятия теории множеств
Для множества не существует строгого определения, поэтому введем описательные понятия множества и его элементов.
Множеством называется совокупность некоторых предметов, объединенных общим признаком. Элементы множества - это те предметы, из которых состоит множество.
Пусть имеется множество А, элементом которого является предмет а, это записывается как А={а}. Например, В={1, 2, 3}.
Если какой-то элемент а принадлежит множеству А, то это обозначается аА, а если b не принадлежит А, то - bА. Например, пусть А - множество четных натуральных чисел, тогда 6А, а 3А.
Пусть имеется два множества А и В, причем все элементы множества А принадлежат множеству В, т.е. если хА, то хB. В этом случае говорят, что множество А включено в множество В. Обозначается: АВ ( - символ нестрогого включения, т.е. возможно совпадение множеств). Множество А совпадает с множеством В (А = В), если все элементы множества В являются элементами множества В и все элементы множества В являются элементами множества А. Это можно записать в виде
(АВ и ВА) <=> (А = В).
Множество А строго включено в множество В, если все элементы множества А принадлежат множеству В, но не все элементы множества В принадлежат множеству А.
Пример: А = { 1, 2, 3 }, В = { 0, 1, 2, 3 }, АВ.
Возможны два способа задания множества.
1. Перечислением элементов, т.е. в фигурных скобках дается полное перечисление элементов данного множества. Например : N= {1,2,...,n,...} - множество натуральных чисел.
2. С помощью указания характерного свойства (указание свойства, которым обладают только элементы данного множества). Символически это записывается в виде A={x | P(x)} и читается - A есть множество всех элементов х, обладающих свойством P(x).
При задании множества вторым способом возможны различные противоречия и парадоксы. Рассмотрим примеры таких парадоксов.
1) Парадокс парикмахера: в городе жил парикмахер, который брил всех, кто не брился сам. Кто же брил парикмахера?
2) Пусть имеем натуральное число 11218321 - одиннадцать миллионов двести восемнадцать тысяч триста двадцать один. Это число можно описать с помощью восьми слов. Пусть А - множество натуральных чисел, которые нельзя определить с помощью фразы, имеющей меньше 20 русских слов. Обозначим аmin - наименьшее число из множества А, причем аminA. Число аmin можно определить следующим образом: наименьшее натуральное число, которое нельзя определить с помощью фразы, имеющей менее двадцати слов. В этой фразе 14 слов. Значит, аmin можно определить с помощью фразы, содержащей менее 20 слов.
Тогда получается, что аmin А.
К настоящему времени накопилось много подобных примеров, когда определение множества оказывалось внутренне противоречиво. Выяснение условий, при которых это может иметь место потребовало специальных исследований, составивших предмет математической логики и выходящих за рамки собственно теории множеств. Поэтому в данном пособии мы не станем касаться спорных случаев и будем рассматривать лишь множества, которые определяются точно и без противоречий.
В теории множеств имеется специальное множество, называемое пустым множеством (), которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество по определению содержится в любом множестве А (А). Это понятие вводится из следующих соображений. Задавая множество вторым способом не всегда заранее можно быть уверенным, существуют ли элементы, ему принадлежащие. Например, можно говорить о множестве четырехугольников на плоскости, у которых все углы прямые, а диагонали не равны. Только знания основ геометрии позволяют убедиться, что таких четырехугольников не существует и, следовательно, это множество пусто.
Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств и включением одного множества в другое. Поэтому надо детально разобраться в методах доказательства этих фактов.
1. Доказательство включения АВ. Для этого нужно доказать, что любой элемент x, принадлежащий множеству А одновременно является элементом множества В, т.е.
(x А) => (x В).
2. Доказательство равенства А = В.
Оно сводится к доказательству двух включений АВ и ВА.
Пример 1. Докажем следующую теорему. Для любых множеств А, В и С выполняется закон транзитивности нестрогого включения, т.е. если АВ и ВС, то из этого следует, что АС.
Доказательство. Пусть x - любой элемент множества А, (xА), тогда в силу условия АВ, по определению нестрогого включения, элемент х принадлежит множеству В (хB). После доказательства этого факта, аналогично, используя условие ВС можно доказать, что х принадлежит С (хС).
В качестве исходного допущения мы приняли, что x – любой элемент из А. Из этого допущения при выполнении условий а) и б) получено следствие хС. По определению нестрогого включения это означает АС, что и требовалось доказать.
Пример 2. Пусть А={1,6}, В ={х | х2-7х+6=0}. Последнее читается как, В является множеством элементов х, для которых выполняется условие х2 - 7х + 6 = 0. Включение АВ доказывается подстановкой элементов множества А в это условие. Для доказательства обратного включения ВА нужно найти все корни уравнения и убедиться, что они равны 1 и 6, т.е. принадлежат А. Выполнение обоих нестрогих включений означает равенство множеств А и В.