6 РаСчет цепей при наличии взаимной индукции.

6.1 Теоретические сведения

Связь электрических цепей посредством магнитного поля называется индуктивной.

Рассмотрим две индуктивно-связанные катушки (рисунок 6.1). Если к первой подключить переменное напряжение, то через нее будет проходить, переменный ток i₁, он создает магнитное поле, которое будет пересекать витки первой и частично - витки второй L₂ катушек, при этом в первой катушке будет наводиться ЭДС само­индукции е₁₁ = , а во второй - ЭДС взаимной индукции е₂₁= .

Рисунок 6.1 Две индуктивно-связанные катушки

Взаимная индуктивность М или коэффициент взаимной индуктивности - это скалярная величина, равная отношению потокосцепления ₁₂ через первую катушку к порождающему току i₂ через вто­рую катушку L₂ и, наоборот, отношению потокосцепления ₂₁ второй катушки к току i₁ через первую, т.е.

M = ₁₂/i₂ = ₂₁/i₁, (Гн).

Если замкнуть цепь второй катушки, то под действием ЭДС, е₂₁ через нее будет проходить ток i₂. Он создает свой магнитный поток, который будет наводить во второй катушке L₂ ЭДС самоиндукции е₂₂ = , а в первой катушке L₁ - ЭДС взаимной индукции е₁₂ = . Это явление и называется явлением взаимной индукции.

Для характеристики степени связи катушек индуктивности используют понятие коэффициента связи

.

Возможны согласное и встречное включения катушек.

При согласном включении катушек их магнитные по­токи, создающие ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции, имеют одина­ковое направление, при этом результирующие ЭДС, наводимые в ка­тушках, складываются:

е₁ = е₁₁ + е₁₂ и е₂ = е₂₂ + е₂₁.

При встречном включении катушек их магнитные потоки, создающие ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции, направлены встречно, при этом

е₁ = е₁₁ - е₁₂ и е₂ = е₂₂ - е₂₁.

Обобщая эти определения, можно записать:

е₁ = е₁₁ ± е₁₂ и е₂ = е₂₂ ± е₂₁,

где знак «плюс» относится к согласному, а «минус» - к встречному включениям.

На схемах согласное и встречное включения катушек обозначаются одноименными зажимами, которым приписываются одинаковые значки: точки, звездочки и т.п.

Расчет индуктивно связанных цепей осуществляют, как правило, по уравнениям Кирхгофа. Однако если индуктивно связанные катушки имеют общий узел, целесообразнее преобразовать цепь в эквивалентную цепь, не содержащую индуктивных связей, после чего для анализа цепи можно применять все стандартные методы расчета. На рисунке 6.2 приведены две схемы индуктивно связанных катушек, имеющих общий узел, в котором сходятся либо одноименные зажимы катушек (а), либо разноименные (б), и соответствующие им эквивалентные схемы цепи без индуктивной связи.

Рисунок 6.2 Эквивалентная замена индуктивно связанных катушек

а – в общем узле сходятся одноименные зажимы катушек;

б – в общем узле сходятся разноименные зажимы катушек

При последовательном включении двух индуктивно связанных катушек (рисунок 6.3, а) по второму закону Кирхгофа:

u = u₁ + u₂,

где u₁ = ,

u₂ = .

а

Рисунок 6.3 Последовательное включение двух индуктивно связанных катушек – а, б – параллельное включение двух катушек

Эти же уравнения в комплексной форме:

,

где R_Э = R₁ + R₂, Х_Э = L_Э, L_Э = L₁ + L₂ ± 2M, т.е. эквивалентная индуктивность зависит от способа включения.

При параллельном соединении индуктивных катушек (рисунок 6.3, б) по второму закону Кирхгофа в комплексной форме запишем:

,

где знак «плюс» соответствует согласному включению, а знак «минус» - встречному.

Решая эту систему уравнений относительно токов, а затем, сложив их, получим:

,

где Z₁ = R₁ + jL₁; Z₂ = R₂ + jL₂; Z_М = jМ.

Входное сопротивление цепи:

,

где знак «минус» соответствует согласному включению, а знак «плюс» - встречному.