6.2. Классический метод исследования переходных процессов

В математике существуют различные способы решения таких уравнений, на основе которых разработаны соответствующие методы исследования электрических цепей. Для расчета переходных процессов, в частности, можно использовать так называемый классический метод, согласно которому решение уравнения (6.3) необходимо искать в виде суммы двух функций:

где - частное решение исходного уравнения; - общий интеграл однородного уравнения

(6.4)

Функция , удовлетворяющая дифференциальному уравнению с правой частью, как нетрудно видеть, непосредственно зависит от вида внешнего воздействия. Следовательно, представляет собой вынужденный режим, задаваемый в цепи внешним источником.

Общее решение однородного дифференциального уравнения (6.4), т.е. , характеризует электрические явления, обусловленные изменением начального энергетического состояния цепи в отсутствие вынуждающего воздействия. Эти явления получили название собственных или свободных процессов.

Таким образом, переходный процесс в общем случае представляет собой совокупность свободной и вынужденной составляющих токов и напряжений, которые должны быть связаны между собой посредством начальных условий. Так как начальный запас энергии в реактивных элементах всегда ограничен, при наличии потерь собственные процессы с течением времени затухают, и в конце концов (при t →∞) в цепи будет наблюдаться только вынужденный режим.

Порядок дифференциального уравнения, описывающего работу электрической цепи, может быть определен до составления уравнений по числу независимых реактивных элементов цепи. Для пояснения сказанного рассмотрим возникновения переходных процессов в цепи, содержащей несколько индуктивностей. Пусть электрическая цепь содержит две индуктивности, соединенные последовательно. В этом случае обе индуктивности нужно заменить одной эквивалентной, и дифференциальное уравнение окажется первого порядка. Если же эти индуктивности соединены параллельно, то они считаются независимыми, и порядок дифференциального уравнения станет вторым. Аналогично можно рассмотреть различные соединения конденсаторов: при последовательном соединении конденсаторы считаются независимыми, а при параллельном заменяются одним эквивалентным конденсатором.

6.3. Переходные процессы в цепях, содержащих r, l и c. Свободные колебания в контуре.

Рассмотрим переходные процессы в электрических цепях, содержащих R, L и C, т.е. в цепях, запасающих энергию и в магнитных и в электрических цепях. В таких цепях возникают новые явления. Наиболее существенным из них является способность электрической цепи к собственным колебаниям.

а) б)

Рис.6.2

Переходные процессы в цепи (рис.6.2а) описываются дифференциальным уравнением

Если функция внешнего воздействия при любых равна нулю (режим короткого замыкания цепи) (рис.6.2б), то уравнение становится однородным:

где

Общее решение его имеет вид

.

Здесь p₁ и p₂ – корни характеристического уравнения р²+2αр+ω₀²=0, определяемые равенством

(6.5)

Обозначив , (6.6)

получим

. (6.7)

Для вычисления неизвестных констант А₁ иА₂ необходимо использовать начальные условия.

Предположим, что электромагнитная энергия в момент, предшествующий короткому замыканию, полностью сосредоточена в емкости, т.е. при t=(0_-) напряжение , а ток в индуктивности (6.2б).

В соответствии с этим можно записать:

(6.8)

Применяя условие для тока (6.8) к выражению (6.7), находим, что , откуда

(6.9)

Согласно условию (6.8) напряжение на активном сопротивлении в начальный момент должно быть равно нулю. Следовательно, при t=(0+) на основании второго закона Кирхгофа имеем

,

или с учетом (6.8)

Отсюда вытекает, что

(6.10)

Вычисляя производную тока по времени и используя выражение (6.10), будем иметь

Таким образом, выражение для собственного тока в контуре окончательно принимает вид

. (6.11)

Напряжение на индуктивности

(6.12)

Наконец, напряжение на емкости при t≥0 есть функция

(6.13)

При t=(0+) из (6.12) получаем

Из формулы (6.6) следует, что коэффициент β может быть как вещественным (при α ≥ω₀), так и мнимым (при α <ω₀). В соответствии с этим в контуре могут иметь место два вида собственных процессов.

а) Апериодический процесс

Пусть β – вещественная величина, причем α >ω₀, или в другой форме

(6.14)

где ρ – характеристическое сопротивление контура. В этом случае p₁ <0, p₂<0, _│p_1│<_│p_2│. Анализ формулы (6.13) показывает, что напряжение на емкости при условии (6.14) непрерывно убывает во времени, стремясь в пределе к нулю. График изменения приведен на рис. 6.3. Аналогичная кривая для тока, рассчитанная формуле (6.11), построена на рис.6.4.

Рис.6.3 Рис.6.4

В теории электрических цепей собственные процессы подобного типа получили названия апериодических. Они наблюдаются в контурах при наличии достаточно больших потерь.

Предположим далее, что α = ω₀. В этом случае коэффициент β обращается в нуль и корни характеристического уравнения становятся одинаковыми: p₁ =p₂ =-α. Подставляя значения β и р в выражения (6.12) и (6.13) и раскрывая неопределенность вида 0/0 по правилу Лопиталя, будем иметь:

Кривые изменения напряжения на емкости и тока, определяемые полученными равенствами, по виду аналогичны кривым, приведенным на рис.6.3 и 6.4. На основании этого можно утверждать, что собственные процессы в данном случае имеют апериодический характер, т.е. условие α = ω₀ является предельным условием существования апериодического процесса в контуре.

б). Колебательный процесс

Пусть α <ω₀, т.е.

(6.15)

Теперь и, следовательно, корни характеристического уравнения оказываются комплексными:

и

причем

(6.16)

Если учесть, что

то при мнимых β равенство (6.13) принимает вид

(6.17)

где .

Величина свободного тока в контуре

(6.18)

а напряжение на индуктивности

(6.19)

Таким образом ток и напряжение на элементах контура при условии (6.15) изменяются во времени по гармоническому закону, однако амплитуды колебаний с течением времени непрерывно уменьшаются. Затухание колебаний определяется множителем e^-αt, поэтому α носит название коэффициента затухания. Частота ω_с называется частотой собственных колебаний, или собственной частотой контура. В общем случае она не совпадает с резонансной частотой ω₀.

Сдвиг по фазе между током и напряжениями на индуктивности и емкости контура, определяемый углом φ, зависит от соотношения между частотой ω_с и коэффициентом затухания α.

Если потери в контуре невелики (R<<ρ), то ω_с>>α, φ≈π/2 и ω_с≈ω₀.

Выражения (6.17) – (6.19) при этом вид:

(6.20)

Отсюда следует, что напряжение на индуктивности опережает, а напряжение на емкости отстает от тока на угол π/2.

Кривые изменения напряжения u_C и собственных колебаний в контуре с относительно малыми потерями приведены на рис.6.5.

Рис.6.5

Скорость затухания собственных колебаний в контуре можно характеризовать отношением амплитуд напряжения u_C, u_L или тока в моменты t и t+T, где T – период колебаний (рис.6.5). Из выражений (6.17) – (6.19) видно, что отношение соответствующих амплитуд

Натуральный логарифм этого отношения

- носит название логарифмического декремента затухания.

Легко показать, что для контура с малыми потерями

(6.21)

На практике вместо логарифмического декремента обычно используется пропорциональная ему величина

которая называется затуханием. Здесь Q - добротность контура.

Если контур не имеет потерь, запас электромагнитной энергии в нем с течением времени не меняется. В этом случае собственные колебания должны иметь синусоидальный характер. Действительно, из выражения (6.20) следует, что при R=0

(6.22)

Величина энергии электрического и магнитного полей в идеальном контуре определяется соотношениями: