15. Средняя арифметическая и условия ее применения

Средняя арифметическая – такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным (это среднее слагаемое). Для того чтобы определить среднюю арифметическую, необходимо иметь ряд вариантов (х) и частот (f).

Средняя арифметическая бывает простая и взвешенная.

Средняя арифметическая простая применяется, если отдельное значение признака встречается 1 раз или одинаковое число раз. Она равна сумме отдельных значений признака (хi), деленной на число этих значений (n): .

Средняя арифметическая взвешенная используется если значения признака (варианты) встречаются неодинаковое число раз, то: , где хi – варианты значений признака, fi – частота.

16. Средняя гармоническая и средняя геометрическая, методы их расчета

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической. В зависимости от формы представления исходных данных средняя гармоническая может быть рассчитана как простая и как взвешенная.

Если известен ряд вариант (х) и ряд произведений вариант на частоту (xf = M), а сама частота (f) неизвестна, расчет средней производится по средней гармонической взвешенной:

Если исходные данные несгруппированны, то применяется средняя гармоническая простая. Средняя гармоническая простая используется при М = const:

Среднегеометрическая величина дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины. Ее можно определить по следующей формуле:

Геометрическая простая

Геометрическая взвешенная

17. Мода в дискретных и интервальных вариационных рядах

Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода.

Мода (Мо) – это наиболее часто повторяющаяся величина признака (варианта), т.е. признак с наибольшей частотой. По сгруппированным данным мода определяется по формуле:

,

где Х₀ – нижняя граница модального интервала (интервала с наибольшей частотой);

i – величина модального интервала;

f_Мо, f_Мо-1, f_Мо+1 – соответственно частоты модального, предмодального и послемодального интервалов.

18. Медиана в дискретных и интервальных вариационных рядах

Медиана (Me) – это величина, которая делит ранжированный ряда пополам. Для определения медианы сначала находят ее место в ряду по формуле , где n – число членов ряда ( ). Если число единиц чётное, то место медианы в ряду определяется как . По сгруппированным данным: , по несгруппированным: , где Х_Ме – нижняя граница медианного интервала; i – величина интервала; – сумма всех частот; – сумма частот, предшествующего медианному интервалу; – частота медианного интервала.

Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины. Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.

19. Показатели вариации и способы их расчета

К абсолютным показателям относятся:

• размах вариации (R) – показатель, показывающий насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими наибольшее и наименьшее значение признака: R = xmax - xmin;

• среднее линейное отклонение ( ) – это среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений от средней: – для несгруппированных данных; – для сгруппированных;

• дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины: – для несгруппированных данных; – для сгруппированных;

• среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии : простое для несгруппированных данных , взвешенное для сгруппированных .

К относительным показателям относятся:

• коэффициент осцилляции показывает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней: ;

• относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины: ;

• коэффициент вариации – показатель колеблемости для оценки типичности средней величины, если < 40%, то совокупность однородная, колеблемость признаков умеренная: .