Вопросы для самоконтроля.

1. В чем заключается дисперсия света?

2. Какая дисперсия называется нормальной? Аномальной?

3. В чем суть метода скрещенных призм?

4. В чем суть электронной теории дисперсии? Выведите формулу зависимости n(ω).

5. Каковы затруднения электромагнитной теории Максвелла?

6. Напишите формулу закона Бугера и объясните ее.

7. Что такое спектр поглощения?

8. Как можно физически объяснить поглощение света в металлах?

9. Как цвета тел связаны с их спектрами поглощения?

Лекция №36 (дополнительная)

Спектр колебаний. Разложение фурье.

План.

1. Спектр и спектрограмма функции.

2. Разложение Фурье. Понятие о гармониках.

3. Спектральное разложение несинусоидального периодического сигнала.

1. Спектр и спектрограмма функции.

Слово спектр (лат. spectrum) первоначально было синонимом слова «изображение», но впоследствии спектром стали называть в оптике только цветную картинку, полученную Ньютоном в результате преломления пучка солнечного света призмой. Значительно позднее, в процессе развития учения о колебаниях и волнах, слово «спектр» приобрело в науке еще и другой смысл.

Рассмотрим функцию вида

, (36-1)

где - константы.

N может быть конечным или бесконечным. В первом случае функция (1) обычно называется тригонометрической суммой, во втором - тригонометрическим рядом. Мы будем называть функцию вида (1) тригонометрическим рядом, рассматривая тригонометрическую сумму как частный случай последнего.

Совокупность пар чисел (ω₁, с₁²), (ω₂, с₂²)…( ω_n, с_n²) называется спектром функции f(t). Отметим на оси абсцисс точки, соответствующие в некотором масштабе частотам ω_1, ω_2,…, ω_N. В каждой такой точке восстановим перпендикуляр к оси абсцисс и отложим на нем отрезок, длина которого пропорциональна квадрату амплитуды (по существу интенсивности) с₁², с₂² , …, с_N² соответствующей синусоидальной слагаемой.

Получающуюся в результате такого построения диаграмму (рис. 36.1) мы будем называть спектрограммой функции f(t). Спектр функции - математическое понятие. Между математическим понятием спектра функции и физическим понятием спектра существует некая связь. Характер спектра

как например реально существующей цветной картинки (спектра в физическом смысле) определяется характером спектра функции (в математическом смысле), описывающей световую волну, падающую на призму или дифракционную решетку. Однако нужно

иметь в виду, что задание спектра функции f(t) не эквивалентно заданию самой функции: две функции, имеющие одинаковый спектр, могут различаться фазами компонент. Например функции ( cosωt + сos2ωt) и (cosωt + sin2ωt) имеют одинаковые спектрограммы, но различные осциллограммы.

2. Разложение Фурье. Понятие о гармониках.

ωt ωt)

Пусть имеется периодическая функция f(t). Она может быть представлена на всем интервале - < f(t)<+  в виде суперпозиции бесконечного множества синусоид, имеющих частоты, кратные ω = 2π Т, где Т – период функции f(t).

,

причем коэффициенты (коэффициенты Фурье периодической функции) даются формулами

где n = 1, 2, 3,..., t₀ - произвольно

(Заметим, что эта процедура называется разложением в ряд Фурье)

Синусоида с частотой ω = 2πn ¤ Т при n = 1 называется основной или первой гармоникой; соответственно при к = 2, 3… получаем вторую, третью и т. д. гармоники.

В качестве примера приведем представление прямоугольных периодических колебаний с помощью трех синусоидальных колебаний (гармоник).

где ω₀ – циклическая частота прямоугольных колебаний (ω₀ = 2π¤ Т). На рис. 36.2 показаны прямоугольные колебания, первые три члена разложения и их сумма. Чем больше членов разложения, тем ближе формы суммы к форме исходных прямоугольных колебаний. Отдельные члены разложения называют еще фурье-компонентами.

Т