Вопрос 18 Понятие средней величины. Средняя арифметическая и ее свойства.

ОТВЕТ

Средней величиной в статистике называется обобщающая количественная характеристика признака в статистической совокупности, отражающая типичный уровень этого признака в расчете на единицу совокупности.

В широком понимании средней величиной является всякий обобщающий показатель, характеризующий значение признака, связи признаков, их динамики и структуры в совокупности массовых явлений. Так в широком смысле средними являются: доля мужчин в общем числе жителей страны (ведь эта доля разная в разных регионах), плотность населения, коэффициент смертности.

Существуют различные категории средних величин. Наиболее распространены степенные и структурные средние. К структурным средним относят квантили распределения и моду.

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое среднее значение признака, при замене которым индивидуальных значений признака, суммарный объем признака по совокупности в целом сохраняется неизменным, т.е. средняя арифметическая есть среднее слагаемое.

Она применяется для усреднения абсолютных и относительных величин. Кроме того, средняя арифметическая используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по сгруппированным данным или вариационным рядам. В этом случае применяется средняя арифметическая взвешенная: ,

где X_j –значение признака в j–ой группе (j=1;m);

m – число групп;

N_j – частота (численность) j–ой группы;

q_j – частость (доля) j-ой группы.

Если значение признака в группе задано интервалом, то в качестве варианты X_j берется середина интервала (центральное значение): . При этом значение средней будет приближенным.

Средняя арифметическая взвешенная используется также при вычислении средней по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности. При этом групповые (частные) средние - принимаются как варианты, а численности групп – как веса усреднения: .

Средняя арифметическая обладает рядом свойств.

Сущностные свойства средней арифметической:

1) Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: , при А=const.

2) Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равно нулю:

для первичного ряда и для сгруппированного ряда. Логически это означает, что все отклонения от средней в ту и другую сторону (положительные и отрицательные), обусловленные случайными причинами, взаимно погашуются.

3) Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть величина минимальная: или , где А = , что означает: сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения – А, сколь угодно мало отличающегося от . Такой же вывод получаем для сгруппированных данных.

Вычислительные свойства средней арифметической:

1) если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину А, то и средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на ту же самую величину А;

2) если все значения признака разделить (умножить) на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) в А раз;

3. если вес каждого значения признака разделить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится.