2.4. Монотонность. Эквивалентные формулы.

α сильнее β, если ├α→β.

Определение:

Формула α(A), содержащая переменное высказывание А, называется монотонно возрастающей (соответственно монотонно убывающей) по А, если из В₁→В₂ следует α(B₁)→α(B₂) (соответственно из В₁→В₂ следует α(B₂)→α(B₁)).

α(B₁) и α(B₂) формулы полученные из α(A) заменой переменной А функциями В₁ и В₂.

Теорема:

Все основные логические операции монотонны по всем участвующим в них переменным высказываниям: AVB, AΛB монотонно возрастают по А и В, ¬A убывает по А, A→B убывает по А и возрастает по В.

Формулу (α→β)Λ(β→α) будем кратко записывать в виде α~β.

Знак ~ не является символом исчисления высказываний, а употребляется, таким образом, для сокращения указанной выше формулы.

~ - знак эквивалентности, α~β – эквивалентность.

Формулы α и β эквивалентны, если имеет место ├α~β.

Теорема 1:

Соотношение эквивалентности:

а) симметрично: если (α~β), то (β~α);

б) транзитивно: (α~β) и (β~γ), то(α~γ);

в) рефлексивно: (α~α).

Доказательство:

а) 1. (α~β) следовательно имеет место ├(α~β) или ├ (α→β)Λ(β→α).

2. По правилу удаления конъюнкции имеем: ├(α→β) и ├(β→α).

3. Применим правило введения конъюнкции и получим: ├ (β→α)Λ(α→β) или ├(β~α).

Пункты б) и в) доказываются аналогично.

Из этой теоремы вытекают два правила:

1) ;

2) .

Теорема эквивалентности:

Пусть формула α(А) содержит или не содержит переменное высказывание А, и пусть формулы В1 и В2 эквивалентны. Тогда формулы α(В1) и α(В2), получаемые из α(А) заменой А соответственно на В1 и В2. также эквивалентны.

2.5. Непротиворечивость, полнота и независимость исчисления высказываний.

Формулы исчисления высказываний можно интерпретировать, как формулы алгебры высказываний для этого будем трактовать свободные переменные исчисления высказываний как переменные алгебры высказываний, то есть переменные принимающие значения истина и ложь. Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания определим так же как в алгебре высказываний; тогда всякая формула при любых значениях переменных сама будет принимать одно из значений истина или ложь, вычисляемое по правилам алгебры высказываний.

Определение 1:

Логическое исчисление непротиворечиво, если в нем не выводимы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой.

Непротиворечивое исчисление это такое исчисление, что, какова бы ни была формула α, никогда формулы α и не могут быть одновременно выведены из аксиом этого исчисления с помощью указанных в нем правил. Если в исчислении обнаруживаются выводимые формулы вида α и , то такое исчисление называется противоречивым (так как все формул выводимы и нет различия между истиной и ложью такое исчисление не ценно).

Теорема 1:

Исчисление высказываний непротиворечиво.

Доказательство:

Каждую формулу исчисления высказываний можно рассматривать в то же время как формулу алгебры высказываний. Покажем, что все формулы, выводимые в исчислении высказываний и рассмотренные как формулы алгебры высказываний, являются тождественно истинными. Легко проверить, что аксиомы исчисления высказываний таковы.

Покажем, что если формула α(A) тождественно истинна, то и формула α(β), полученная с помощью правила подстановки, также тождественно истинна. В самом деле, α(A) при всех значениях переменных высказываний принимает значение «истина», т.е. α(И)≡И и α(Л)≡И. Но и формула β при любых значениях переменных высказываний может иметь только значение «истина» или «ложь». Отсюда ясно, что α(β) всегда будем принимать значение «истина».

Теперь докажем, что если формулы α и α→β тождественно истинны, то формула β также тождественно истинна.

α – тождественно истинна, следовательно, всегда принимает значение «истина». Так как формула α→β также всегда принимает значение «истина», то формула β не может принять значение «ложь» ни при каких значениях переменных высказываний, иначе по определению импликации в алгебре высказываний формула α→β приняла бы значение «ложь».

Итак, мы показали, что: 1) все аксиомы тождественно истинные формулы, 2) применяя к тождественно истинным формулам правила вывода, мы получаем тождественно истинные формулы. Отсюда следует, что все выводимые в исчисление высказываний формулы являются тождественно истинными в алгебре высказываний. В этом случае ясно, что если формула α выводима в исчислении высказываний, то формула не может быть выводима, так как α – тождественно истинная формула, а - тождественно ложная формула. Непротиворечивость исчисления высказываний доказана.

Доказывая, что исчисление высказываний непротиворечиво мы показали, что всякая формула, выводимая в исчислении высказываний, является тождественно истинной в алгебре высказываний. Возникает обратный вопрос: будет ли всякая тождественно истинная формула алгебры высказываний выводима в исчислении высказываний?

Этот вопрос и представляет собой проблему полноты в широком смысле для исчисления высказываний. Проблема полноты в исчислении высказываний решается положительным образом.

Теорема 2:

Всякая тождественно истинная формула алгебры высказываний выводима в исчислении высказываний.

[Доказательство см. П.С.Новиков Элементы математической логики].

Для всякого исчисления возникает вопрос о независимости его аксиом. Вопрос ставится следующим образом: Можно ли какую-нибудь аксиому вывести из остальных, применяя правила вывода данной системы?

Если оказывается, что некоторую аксиому можно таким образом вывести из остальных, то ее можно вычеркнуть из списка аксиом, и логическое исчисление при этом не изменится, т.е. запас его выводимых формул останется тот же.

Определение 2:

Аксиома, не выводимая из остальных аксиом, называется независимой от этих аксиом, а система аксиом, в которой ни одна аксиома не выводима из остальных, называется независимой системой аксиом. В противном случае система аксиом называется зависимой.

Теорема 3:

Система аксиом исчисления высказываний независима.

Метод доказательства этой теоремы аналогичен доказательству непротиворечивости исчисления высказываний [П.С.Новиков Элементы математической логики].