2.2. Теорема дедукции.
Эта теорема позволяет устанавливать выводимость различных формул гораздо более простым способом, чем непосредственный вывод этих формул.
Определение 1:
Формула β выводима из формул α1, α2, ..., αn, если формулу β можно вывести путем правила заключения, приняв за исходные формулы α1, α2, ..., αn и все истинные в исчислении высказываний формулы.
Определение 2:
β выводима из формул α1, α2, ..., αn если:
1) каждая формула αi(1≤i≤n) выводима из формул α1, α2, ..., αn;
2) каждая выводимая в исчислении высказываний формула выводима из формул α1, α2, ..., αn;
3) если формула α и α→β выводима из формул α1, α2, ..., αn, то формула β также выводима из α1, α2, ..., αn.
β выводима из α1, α2, ..., αn будем обозначать α1, α2, ..., αn├β, если αi нет, то ├β (просто выводимая формула).
Замечание:
Если α1, α2, ..., αn является аксиомами или другими выводимыми формулами, то класс выводимых формул совпадает с классом всех выводимых в исчислении высказываний формул, так как всякая выводимая формула считается выводимой из любой системы формул.
Теорема дедукции:
Если формула β выводима из формул α1, α2, ..., αn, то α1→(α2→(...(αn→β)...)) – выводимая формула.
.
Доказательство:
Сначала докажем, что если α1, α2, ..., αn├β, то α1, α2, ..., αn-1├αn→β.
Доказательство этого утверждения проведем по индукции следующим образом. Сначала докажем, что оно верно, если β является одной из формул αi. Затем покажем, что если утверждение верно для формул β′ и β′→β″, то оно верно и для β″.
Итак, если β одна из формул αi, то либо i=n, либо i<n. В первом случае αn→αn – выводимая формула; она получается подстановкой в теорему 2.
Поэтому α1, α2, ..., αn-1├αn→αn.
Во втором случае αn→αi – выводимая формула:
1. - подстановка в аксиому А1;
2. ├αi – по определению;
3. ├αn→αi – по правилу заключения к шагам 1 и 2.
Поэтому α1, α2, ..., αn-1├αn→αi.
Допустим теперь, что формулы αn→β′ и αn→(β′→β″) выводимы из α1, α2, ..., αn-1.
1. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))≡(αn→(β′→β″))→((αn→β′)→(αn→β′′));
2. ├αn→(β′→β″) и ├αn→β′ по условию;
3. ├ αn→β′′ - по правилу заключения к шагам 1 и 2.
Поэтому α1, α2, ..., αn-1├αn→β′′.
Таким образом мы доказали, что если
α1, α2, ..., αn├β,
то
α1, α2, ..., αn-1├αn→β.
Теперь установим справедливость теоремы дедукции. Допустим, что имеет место
α1, α2, ..., αn├β.
В таком случае будем иметь
α1, α2, ..., αn-1├ αn→β.
Применив то же самое вторично, получим
α1, α2, ..., αn-2├ αn-1→ (αn→β).
Рассуждая так же и далее, наконец, получим
n-1. α1 ├ α2→(α3→(...(αn→β)...)).
Применив то же рассуждение еще раз, получим
├ (α1→(α2→(α3→(...(αn→β)...)),
чем и доказана теорема дедукции.
2.3. Правила и законы исчисления высказываний.
Закон силлогизма:
.
Правило перестановки посылок:
.
Правило введения V:
а) .
б) .
Закон удаления двойного отрицания:
.
Правило введения двойного отрицания:
.
Закон введения Λ:
.
Закон контрапозиции:
.
Правило удаления Λ:
.
Правило сложного умозаключения:
.
Правило соединения посылок:
.
Правило разъединения посылок:
.