Образцы решения заданий
контрольная работа № 4
Рассмотрим варианты решений заданий контрольной работы № 4.
Образцы выполнения заданий № 16,17
Найти неопределенные интегралы.
а)
.
Проверка.
- получилась подынтегральная функция,
следовательно интеграл найден верно.
б)
.
в)
-
г)
д)
e)
Контрольная работа № 5
Рассмотрим варианты решения заданий контрольной работы № 5.
Образцы выполнения заданий № 171-200.
1. Вычислить определенный интеграл
.
Решение.
2. Вычислить несобственный
интеграл
или доказать его расходимость.
Решение.
.
3. Вычислить площадь, заключенную между
линиями
.
Найдем абсциссы точек пересечения этих
линий, решив систему
.
Получим
(рис. 1).
И
скомая
площадь равна
.
Рисунок 1
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линией
в полярных координатах.
Решение.
Графиком функции
является четырехлепестковая роза.
Искомая площадь
равна
,
где
- площадь одного лепестка.
.
5. Найти длину линии
при
.
Решение.
.
6. Найти длину одной арки циклоиды,
заданной параметрически уравнениями
.
Когда параметр
изменяется от
до
,
получается одна из арок (рис.2).
.
Рисунок 2
7. Вычислить объем тела, образованного
вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной линиями
,
,
.
Решение.
К
огда
фигура, изображенная на рисунке 3,
вращается вокруг оси Ох, то получится
тело, объем которого
.
Рисунок 3
Контрольная работа № 6
Рассмотрим варианты решения заданий контрольной работы № 6.
Образец выполнения заданий № 201-210
Изменить порядок интегрирования в
интеграле
.
Область интегрирования изобразить на
чертеже.
Решение.
Выпишем из условия задачи область изменения переменных
Изобразим эту область (на рисунке 4 она заштрихована).
При измерении порядка интегрирования
область
разобъется на две части
Отсюда
Рисунок 4
Образец выполнения заданий № 211-220.
Вычислить объем тела, ограниченного
поверхностями
,
,
.
Решение.
Сделаем чертеж данного тела (рис. 5). Он
показывает, что проекций этого тела на
плоскость
является круг
,
поэтому объем можно вычислить по формуле
.
Рисунок 6 показывает, что область задается неравенствами
,
Рисунок
5
Рисунок 6
поэтому
.
Образец выполнения задания № 22
а) Найти площадь фигуры, ограниченной
замкнутой линией
,
.
Решение.
Уравнение линии упростится, если перейти
к полярным координатам
,
(
- полярные координаты,
- декартовы координаты). Подставив в
уравнение линии, получим
,
- уравнение линии в полярных координатах.
Найдем ОДЗ:
,
,
,
и
.
Вследствие симметрии фигуры можно найти площадь заштрихованной части и умножить на 4 (рис. 7).
Рисунок
7
б) вычислить двойной интеграл, используя
полярные координаты
.
Решение
Область интегрирования задается интервалами:
-
≤x≤0,
0≤y≤
И представляет собой четверть окружности с центром в начале координат и радиуса , расположенной во второй четверти.
y
=(3-x2)1/2
y=(3-x2)1/2
D
0
Переходим к полярным координатам по формулам
x=rcosφ, y=rsinφ (r,φ-полярные координаты; x,y- декартовые координаты).
Тогда область интегрирования представляется в виде:
0≤r≤ , π/2≤φ≤π
Заданный двойной интеграл в полярных координатах примет вид:
=
.
Ответ: = .
Образцы выполнения заданий № 231-240
1. Найти массу полушара
,
если плотность в каждой точке
обратно пропорциональна расстоянию от
до начала координат.
Решение.
Сделаем чертеж (рис. 8). Внутри тела возьмем произвольную точку . Тогда
.
По условию плотность равна
,
где
- коэффициент пропорциональности. Тогда
масса бесконечно малого кусочка объема
равна
,
а масса всего тела
.
Рисунок 8
В сферических координатах
,
а объем
,
показанный на рисунке, задается
неравенствами
Поэтому
.
2. Найти координаты центра тяжести полушара, данного в предыдущей задаче.
Решение.
Координаты центра тяжести тела находятся по формулам
,
,
,
в которых
- масса тела.
Ось Оz является осью
симметрии полушара, поэтому центр
тяжести лежит на оси Оz,
т.е.
,
.
Масса полушара найдена в предыдущей
задаче,
.
Найдем оставшиеся тройные интеграл.
,
поэтому
.
Ответ:
,
,
.
3. Найти момент инерции
относительно оси
полушара, заданного в предыдущей задаче.
Решение.
.
Образец выполнения задания № 241-250
Вычислить криволинейный интеграл
,
где
- четверть окружности
,
между начальной точкой
и конечной
.
Решение.
.
Образец выполнения задания № 251-260
Дана функция
и вектор
.
Требуется найти: 1) направление наибольшего
возрастания функции в точке
и скорость возрастания функции в этом
направлении; 2)
;
3)
.
Решение. 1) Направление наибольшего
возрастания функции задается вектором
:
.
Скорость возрастания функции в этом направлении равна
.
2)
,
отсюда
.
3)
.
Образец выполнения задания № 261-270
Дан
вектор
и плоскость (р):
.
Плоскость (р) вместе с координатными
плоскостями образует поверхность
некоторой пирамиды. Требуется: 1) по
формуле Остроградского найти поток
вектора
через поверхность пирамиды в направлении
внешней нормали; 2) найти циркуляцию
вектора
вдоль линии пересечения плоскости (р)
с координатными плоскостями непосредственно
и по формуле Стокса, принимая в формуле
Стокса за поверхность по которой ведется
интегрирование, три грани пирамиды,
лежащие в координатных плоскостях. При
этом то направление обхода линии
интегрирования следует считать
положительным, при котором точка
пробегает ее по ходу часовой стрелки,
если смотреть из начала координат.
Решение.
Плоскость
проходит через точки
,
показанные на рисунке.
1) Поток через замкнутую поверхность вычисляется по формуле Остроградского
,
в
которой
- область внутри
.
В нашей задаче
- пирамида
,
которую можно задавать системой
неравенств
Вычислим дивергенцию вектора :
.
Теперь вычислим поток:
2)
По условию задачи, требуется вычислить
циркуляцию по контуру
двумя способами.
а) Непосредственно.
.
В
нашей задаче
.
Вычислим отдельно каждый интеграл.
.
.
.
Следовательно
.
б)
По формуле Стокса циркуляция вычисляется
так
,
где
- грань
пирамиды,
- единичный нормальный вектор к этой
грани, согласованный с направлением
обхода этой грани. Грань
имеет уравнение
или
;
нормальный вектор имеет координаты
,
,
;
его длина
.
Отсюда
получаем единичный вектор
.
Вычислим ротор вектора
.
Отсюда
.