Пример.

2.2.3. Оценка погрешности интерполяционного многочлена.

Интерполяционный многочлен φ(х) совпадает с функцией f(x) в узлах интерполяции x₀, x₁, x₂,…x_n. Чтобы оценить степень приближения интерполяционного многочлена в точках, отличных от узлов интерполяции, нужно сделать дополнительные предположения о поведении функции f{х}, заданной таблично. Булем считать, что функция f(x) дифференцируемая n+1 раз на отрезке [a,b].

Погрешность интерполяции функции полиномом на отрезке [a,b]=[x₀,x_n] оценивается формулой:

где ,

в практических расчетах в качестве берется некоторое число q , удовлетворяющее неравенству при всех .

Оценка погрешности интерполяции с равноотстоящими узлами.

Обозначим

где .

Остаточный член интерполяционного многочлена тогда может быть представлен в виде

Заметим, что из определения значит, что изменению переменной на отрезке соответствует изменение числа на отрезке

Поэтому оценку максимальной погрешности интерполяции на отрезке можно записать в следующем виде :

(10)

где

Величина не зависит от . Ее можно заранее вычислить ли оценить. В частности,

Учитывая, что можно сделать вывод, что максимальная погрешность интерполяции на отрезке , то есть

Заметим, что (учитывая ) при уменьшении шага вдвое, правая часть оценки уменьшится минимум у раз.

Исходя из усиленной оценки, которая получается из неравенства (10), в которое вместо подставлено , выбирают шаг таблицы значений функции на отрезке с тем чтобы обеспечить заданную точность интерполяции. При этом есть еще возможность изменять в некоторых границах степень интерполяционного многочлена. Если функция достаточно гладкая, то повышение сначала, как правило, ведет к повышению допустимого , но, с другой стороны, усложняет интерполяцию и усиливает влияние неисправляемых погрешностей табличных значений. На практике редко используют интерполяцию с Кроме того, точность коэффициентов интерполяционного многочлена зависит от точности таблицы.

Замечание. При заданном узлы интерполяции расположенные с шагом , целесообразно выбирать из совокупности всех узлов заданной таблицы функции так, чтобы точка оказалась как можно более близкое к середине отрезка . Это связано с тем , что колебание функций близ середины упомянутого отрезка меньшее, чем на его концах.

Пример1. Дана таблица значений функции sin(x) . Оценим точности вычисления sin(0.7) многочленом третьей степени.

x	sinx
0	0
0.5	0.5
1.0	0.8
1.5	1.0

Погрешность оценивается числом

М₄=1, поскольку для любого . В итоге получим V₃(0.7)=0.0015. Следовательно, интерполяционная формула обеспечивает две верные цифры после запятой, но поскольку у табличных значений значащих цифр мало, точность результата, скорее всего, окажется меньше.

При построении интерполяционных многочленов часто возникает вопрос относительно найвыгоднейшего выбора узлов интерполяции. При неудачном расположении узлов интерполяции х_і, верхняя грань модуля погрешности R_n(х) может быть весьма большой. Поскольку f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) зависит от свойства функции f(x) и не поддается регулированию, возникает задача о рациональном выборе узлов интерполяции х_i так, чтобы полином ω(x)=(х-x₀)(х-x₁) ...(х-х_n) имел наименьшее максимальное значение по абсолютной величине на интервале [а,b]. Эта задача решается с помощью многочлена Чебышева

(11)

причем за узлы интерполяции нужно брать корни многочлена (11), т.е. точки

При этом и оценка приобретет вид .

Пример 2. По данной таблице значений функции y = lg(x) найти lg(1001).

Составляем таблицу разностей, в столбцах разностей не указываются десятичные разряды. Записывая значения функции в единицах седьмого разряда, отмечаем, что третьи разности практически постоянные, поэтому достаточно положить n=3.

x	f(x)	f	2f	3f
1000	3.0000000	43214	-426	8
1010	3.0043214	42788	-418	9
1020	3.0086002	42370	-409	8
1030	3.0128372	41961	-401
1040	3.0170333	41560
1050	3.021893

При этом используется верхняя горизонтальная строка таблицы разностей. Для x=1001 имеем t=(x-x₀)/h и t=0,1.

Таким образом,

Оценим остаточный член, при n=3 имеем

где 1000 < ζ < 1050.

Поскольку f(x)=lg(x), то f⁽⁴⁾(x)=(-3!/x⁴ )lge. При h = 10 и t = 0,1 получим

.

Таким образом, остаточный член может повлиять лишь на девятый десятичный знак. Укажем, что полученное значение lg1001 совпадает со значением в семизначной таблице значений.