- •Аппроксимация функций.
- •1. Понятие о приближении функций. Постановка задачи.
- •Точечная аппроксимация.
- •2. Классическая теория интерполяции.
- •Постановка задачи.
- •Полиномиальная интерполяция.
- •2.1. Кусочная интерполяция.
- •Пример.
- •2.2. Глобальная интерполяция.
- •2.2.1. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •Интерполяция с равноотстоящими узлами.
- •Пример:
- •2.2.2. Интерполяционный полином Ньютона.
- •Конечные и разделенные разности. Конечные разности.
- •Разделенные разности.
- •Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •Пример.
- •2.2.3. Оценка погрешности интерполяционного многочлена.
- •Оценка погрешности интерполяции с равноотстоящими узлами.
- •2.2.4. Многочлен Эрмита.
- •Погрешность.
- •2.2.5. Интерполяционные полиномы Гаусса, Стирлинга и Бесселя.
- •2.3. Интерполирование сплайнами.
- •Меры приближения апроксимации.
- •Список литературы
Аппроксимация функций.
Аппроксимация - (от лат. approximo - приближаюсь) - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации, например приближение функций.
1. Понятие о приближении функций. Постановка задачи.
Пусть величина у является функцией аргумента х. Это означает, что любому значению х из области определения поставлено в соответствие значение у. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между у и х, т. е. невозможно записать эту связь в виде зависимости y = f(x), а некоторых случаях даже при известной зависимости y = f(x) она настолько громоздка (например, содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т. п.), что ее использование в практических расчетах затруднительно.
Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид связи между параметрами х и у неизвестен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы {xi, yi}. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента {хi} поставлено в соответствие множество значений функции.{yi} (i = 0, 1, ..., n). Эти значения — либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике нам могут понадобиться значения величины у и в других точках, отличных от узлов xi, однако получить эти значения практически можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов.
Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления искомого параметра у при любом значении (из некоторой области) определяющего параметра х, поскольку точная связь у = f(x) неизвестна.
Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией (x), так, чтобы отклонение (в некотором смысле) (x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция (x) при этом называется аппроксимирующей.
Точечная аппроксимация.
Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {xi}, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др.
Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций.
Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х2, …, хn, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos(aix), sin(aix). Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e-az. Эти функции часто встречаются в реальных ситуациях, к ним, например, приводят задачи накопления и распада.
Классическим критерием согласия является «точное совпадение в узловых точках». Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловых точках). Другой относительно хороший критерий — это «наименьшие квадраты». Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума. Используются и другие критерии.
Итак, выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством некоторого критерия — некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберём для измерения этой точности.
Всё изложенное можно сформулировать в виде четырёх вопросов:
Какие узлы мы будем использовать?
Какой класс приближающих функций мы будем использовать?
Какой критерий согласия мы применим?
Какую точность мы хотим?
Более конкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из условий и цели каждой отдельной задачи.