2. Прохождение переменного тока через электрические цепи

а) Цепь с омическим сопротивлением.

Схема цепи, содержащей омическое сопротивление изображена на рис.2.

Если к цепи приложено синусоидальное переменное напряжение

U(t) = U_о^. sin t, (4)

то мгновенное значение силы тока в цепи можно определяется по правилу Кирхгофа. По правилу Кирхгофа, используемому при расчете сложных цепей, сумма падений

напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС всех источников, включенных в этот контур. В нашем случае, в контуре присутствует одно

Рис.2

падение напряжения на омическом сопротивлении и действует одна электродвижущая сила (напряжение источника тока). Поэтому по правилу Кирхгофа для нашей цепи получим

I(t)·R = U(t) , или I·R = U₀ sin t.

Из этого выражения для силы тока в цепи получается следующее выражение

I(t)= sin t . (5)

Сравнивая законы изменения напряжения и тока, можно заключить, что ток и напряжение одновременно достигают максимальных и минимальных значений. В этом случае принято говорить, что ток и напряжение изменяются в фазе.

Амплитудное значение силы тока в цепи, как следует из соотношения (5) , равно

I_о= U_о/R

Омическое сопротивление поглощает энергию источника тока (энергия источника тратится на нагревание проводника), поэтому омическое сопротивление называется активным сопротивлением.

б) Цепь с катушкой индуктивности.

Как известно из курса средней школы, при одной и той же амплитуде синусоидальное напряжение, приложенное к концам прямого проводника, вызовет ток бóльшей силы, чем в катушке, намотанной из того же проводника. Причиной уменьшения силы тока является ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке.

Переменный ток, протекающий по виткам катушки, образует вокруг них переменное магнитное поле. Это магнитное поле пронизывая витки катушки, создает переменный поток магнитной индукции и вызывает в них индукционный ток.

Возникающая в катушке электродвижущая сила самоиндукции Е_i, как известно, пропорциональная скорости изменения тока в цепи:

(6)

Коэффициент самоиндукции (индуктивность) L показывает, какая ЭДС самоиндукции возникает в проводнике при скорости изменения тока на 1А за 1сек. Индуктивность катушки L зависит от числа витков, размера и формы катушки, а также от наличия в катушке ферромагнитного сердечника.

Рис.4

Схема цепи с катушкой индуктивности L изображена на рис.4

Для упрощения рассмотрения процессов в данной цепи пренебрежем омическим сопротивлением провода катушки индуктивности.

Предположим, что к цепи приложено напряжение

U(t) = U_o^.sin t . (7)

Воспользуемся опять правилом Кирхгофа. В данной цепи падение напряжения равно нулю, так как мы пренебрегли омическим сопротивлением проводника катушки, но действуют две электродвижущие силы: напряжение источника тока и электродвижущая сила самоиндукции. Поэтому по правилу Кирхгофа для данной цепи получим

0 = U(t) + E_i. (8)

Подставляя в (8) выражение для приложенного напряжения U(t) и электродвижущей силы самоиндукции Е_i , получаем

U_osin t - L dI/dt = 0 . (9)

Чтобы получить закон изменения тока в цепи, необходимо решить полученное дифференциальное уравнение. Решим это уравнение, разделив переменные:

;

,

.

Постоянная интегрирования С будет равна нулю, так как ток не имеет постоянной составляющей. Пользуясь тригонометрическими формулами преобразуем полученное соотношение:

(10)

Сопоставление выражений для напряжения и тока (7) и (10) показывает, что в цепи с индуктивностью ток и напряжение изменяются не в фазе. Сила тока отстает от напряжения по фазе на /2 или на четверть периода (Т/4).

Выражение (10) позволяет найти связь между амплитудой силы тока и амплитудой внешнего напряжения. Действительно, выражение U_o/L, входящее в (10), имеет смысл амплитудного значения силы тока

I_o= U_o/ L . (11)

Выражение (11) по внешнему виду аналогично закону Ома для постоянного тока. Величина L играет роль сопротивления в цепях переменного тока, содержащих катушку индуктивности. Эту величину называют индуктивным сопротивлением

X_L = L = 2fL. (12)

Физический смысл индуктивного сопротивления состоит в том, что оно учитывает влияние на величину силы тока в цепи ЭДС самоиндукции, которая противодействует приложенному напряжению.

Как следует из (12), индуктивное сопротивление Х_L зависит от частоты. С ростом частоты Х_L линейно увеличивается. Для постоянного тока (f = 0) индуктивное сопротивление равно нулю.

Индуктивное сопротивление как и омическое сопротивление измеряется в омах.

Индуктивные сопротивления периодически накапливают энергию, в виде энергии магнитного поля, а затем возвращают её источнику, но сами энергию не поглощают. По этой причине индуктивное сопротивление получило название реактивного сопротивления в отличие от омического (активного) сопротивления, в котором происходит превращение электрической энергии в теплоту или другие неэлектрические виды энергии.

в) Цепь с конденсатором.

С хема цепи с конденсатором изображена на рис.6.

Как известно, ёмкость конденсатора определяется соотношением

С = Q/U (13)

где Q – заряд на пластинах конденсатора,

U - разность потенциалов между пластинами.

Ёмкость показывает, какой заряд необходимо сообщить пластинам конденсатора, чтобы изменить разность потенциалов между ними на единицу.

Ёмкость конденсатора определяется формой и размерами пластин (обкладок), величиной зазора между ними и свойствами заполняющего конденсатор диэлектрика. Для плоского конденсатора ёмкость равна

C = ,

где - диэлектрическая постоянная среды между обкладками,

S - площадь перекрытия пластин (обкладок),

d - расстояние между пластинами,

₀- постоянная вакуума, равная 8,85^.10^-12 ф/м (в СИ).

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи с конденсатором. Если к цепи приложено внешнее напряжение U(t) = U_о^.sin t, то под действием этого напряжения конденсатор будет периодически заряжаться и разряжаться.

Напряжение между обкладками конденсатора в соответствии с (13) будет равно

U_C = Q/C

Заряд на обкладках конденсатора можно найти исходя из определения силы тока. Так как сила переменного тока равна I = dQ/dt, то заряд будет равен

Q = .

Следовательно, величина напряжения между обкладками конденсатора будет равна

^U_C ⁼

Для нахождения силы тока в цепи воспользуемся опять правилом Кирхгофа. В данном случае роль падения напряжения играет напряжение на конденсаторе, а роль ЭДС – проложенное напряжение. Поэтому, по правилу Кирхгофа для данной цепи получим

^{= U}_о^{.sin t.}

Продифференцировав данное выражение, получим

I(t) = C·U₀ cos t

Пользуясь тригонометрическими формулами преобразуем полученное соотношение к виду:

(14)

Сравнивая выражения для тока и напряжения, видим, что в цепи с конденсатором ток и напряжение изменяются не в фазе. Ток опережает напряжение на 90^o или на четверть периода (Т/4). Выражение (14) позволяет найти связь между амплитудой внешнего напряжения U_о и амплитудой тока I_о для цепи, содержащей конденсатор.

Произведение U_оC, входящее в выражение для тока, очевидно, имеет смысл амплитуды тока I_о.

I_о = U_оC = (15)

Соотношение (15) напоминает закон Ома для постоянного тока. Величина 1/C играет роль сопротивления в цепях, содержащих конденсатор. Эту величину называют ёмкостным сопротивлением цепи Х_С.

X_С = 1/C = 1/(2fC). (16)

Как следует из (16), ёмкостное сопротивление Х_С зависит от частоты. С ростом частоты ёмкостное сопротивление уменьшается. Для постоянного тока (f = 0) ёмкость обладает бесконечно большим сопротивлением, и ток в такой цепи протекать не будет .

Так же как омическое и индуктивное сопротивления, емкостное сопротивление измеряется в Омах. Следует отметить, что и при ёмкостном сопротивлении происходит периодическое накопление энергию в виде энергии электрического поля, а затем возвращение её источнику. По этой причине ёмкостное сопротивления, как и индуктивное, является реактивным сопротивлением.

г) Цепь с последовательным соединением R,L,C.

При расчёте подобных цепей задача формулируется так: задано внешнее напряжение и параметры цепи R,L,C; необходимо найти мгновенное значение силы тока и сдвиг фаз между силой тока и напряжением.

Схема цепи с последовательным соединением R,L,C изображена на рис.8.

Расчёт может быть проведен двумя методами: аналитическим и графическим. Аналитически силу тока в данной цепи можно рассчитать используя правило Кирхгофа. Однако такой расчет требует решения дифференциального уравнения второго порядка. Поэтому воспользуемся графическим методом.

Графический метод отличается простотой и наглядностью, поэтому он получил широкое распространение в технике для расчета сложных цепей. Этот метод называется методом векторных диаграмм.

Суть метода векторных диаграмм заключается в следующем. В общей теории колебаний показано, что всякое синусоидальное колебательное движение можно представить как проекцию на фиксированную ось вращающегося вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а скорость вращения равна циклической частоте. В соответствии с этим и синусоидальный ток (напряжение) можно представить вращающимся вектором, длина которого пропорциональна амплитуде силы тока (величины напряжения), а скорость вращения равна циклической частоте.

Сложение нескольких синусоидальных токов (напряжений), сдвинутых относительно друг друга по фазе, в этом методе заменяется геометрическим сложением соответствующих векторов; при этом длина результирующего вектора определяет амплитуду суммарной силы тока (суммарной величины напряжения), а углы между векторами определяют сдвиги фаз между токами и напряжениями.

Совокупность векторов, изображающих токи и напряжения в некоторой цепи, называется векторной диаграммой данной цепи.

Построим векторную диаграмму цепи, приведенной на рис.8. Предположим, что к цепи приложено синусоидальное напряжение

U(t)=U₀^.sin t,

а по цепи при этом протекает синусоидальный ток:

I(t) = I₀^.sin(t+) (19)

Так как элементы цепи R,L и С соединены последовательно, то величина тока в каждый момент времени будет одинакова в каждой точке цепи.

Протекая по участкам цепи R, L и C, ток будет создавать на них падение напряжения с амплитудами:

на активном сопротивлении - U_0R = I₀^.R ,

на индуктивном сопротивлении - U_0L = I₀^.  L, (20)

на ёмкостном сопротивлении - U_0C = I₀^.1/C .

Направим вектор I₀, отображающий силу тока в цепи, вдоль оси «х» (см. рис. 9). Вектор U_0R, отображающий в определенном масштабе напряжение на омическом сопротивлении направим тоже вдоль оси «х», поскольку это напряжение находится в фазе с током. Вектор U_0L, отображающий в том же масштабе напряжение на индуктивном сопротивлении направим по оси «y» вверх, так как это напряжение опережает ток на 90⁰. Вектор, напряжения на емкостном сопротивлении направим по оси «y» вниз, так как это напряжение отстает от тока на 90⁰. Сложив вектора (по правилам сложения векторов), получим вектор U₀, изображающий полное напряжение, приложенное к цепи.

Как видно на рис. 9, общее напряжение можно найти из прямоугольного треугольника; оно будет равно

U₀² = U_0R² +(U_0L-U_0C)² (21)

Подставляя сюда значения U_OR,U_OL,U_OC из соотношений (20), получаем

U₀² = I₀²R² + I₀²(L - 1/C)² (22)

Рис.9

Решая уравнение (22) относительно I₀, имеем

(23)

Таким образом, амплитуда силы тока, может быть рассчитана через известные величины. В том же треугольнике угол  определяет фазовый сдвиг между силой тока и напряжением в цепи. Этот фазовый сдвиг будет равен

. (24)

Зная амплитуду силы тока и сдвиг фаз между силой тока и напряжением в рассматриваемой цепи, можно записать выражение для тока. Оно будет иметь вид

^{sin (t - ),}

^где .

Формула (23) для I₀ по внешнему виду напоминает закон Ома, поэтому это соотношение называется законом Ома для переменного тока. Её знаменатель называется полным сопротивлением или импедансом цепи Z.

. (25)

В цепях, содержащих последовательно включенные R, L и C наблюдается явление, получившее название "резонанс напряжений". Оно происходит при равенстве величин индуктивного и ёмкостного сопротивлений

. (26)

В этом случае полное сопротивление цепи Z(_p) равно омическому сопротивлению R, а амплитуда силы тока равна

I_o = U_o/R.

Амплитуда напряжения на активном сопротивлении равна амплитуде приложенного ко всей цепи напряжения (U_OR=I_oR=U_О), в то же время амплитуды напряжений на реактивных сопротивлениях равны:

_{U0L = I0·XL = U0 ,} (27)

_{U0C = I0·XC = U0} . (28)

Как видно из (27), (28), в момент резонанса напряжения на реактивных элементах могут быть в X_L/R (X_C/R) раз больше, чем напряжение на омическом сопротивлении.

Следует иметь в виду, что речь идёт об амплитудах напряжений. Для мгновенных значений напряжений, естественно, остаётся справедливым условие

U(t) = U_R(t) + U_L(t) + U_C(t) ,

которое не противоречит рассмотренному выше, т.к. при резонансе мгновенные значения напряжений U_L(t) и U_C(t) меняются в противофазе и в любой момент времени их сумма равна нулю.

В соответствии с условием (26) частота, при которой наблюдается явление резонанса, равна

_p = .

Формулы (24) и (25) можно применять и для расчета последовательных цепей, в которых используются не все элементы. Например, реальная катушка индуктивности всегда обладает активным сопротивлением r, поэтому ее полное сопротивление (импеданс) Z_L и сдвиг фаз между током и напряжением будут соответственно равны :

, (27)